CA' — AC' __BC' — CB
^ — aB'— BA' ’ “ AB'— BA' ■
4® La condition pour que trois droites soient concourantes s’obtiendra en exprimant que les coordonnées du point d’intersection des deux premières droites satisfont à l’équation de la troisième. Et, comme pour une droite, à une abscisse déterminée correspond une seule ordonnée, il suffira d’écrire que l’abscisse du point d’intersection des deux premières droites est égale à celle du point d’intersection de la première et de la troisième. Si les équations des trois droites
y=iax-\-h, y=za'x+b', y=a"x-\-b",
il viendra donc
Ainsi, pour que trois droites soient concourantes, il faut et il suffit qu'il y ait proportionnalité entre les différences de leurs coefficients angulaires et celles de leurs ordonnées à l’origine.
43. IV. Trouver l’équation générale des droites qui passent par le point de concours de deux droites données.
Pour répondre immédiatement à cette question, il suffit de réunir les solutions des problèmes I et III; mais il est préférable d’opérer de la manière suivante. Soient
y=ax-^b, y=a'x-irb',
les équations des deux droites données. Mettons-les sous la forme
(1) y—ax — b = o,
Ajoutons-les membre à membre, après avoir multiplié la seconde par un coefficient indéterminé m. Nous obtiendrons
(3) (y — ax — b)-\-m{y — a'x — b')=.o.
Cette équation étant du premier degré représente une droite ; cette droite est quelconque, puisque le coefficient m reste
GÉOMÉTRIE AîlALYTIQOE. Zj
Indéterminé; elle passe par le point de concours des deux droites données, puisque les coordonnées de ce point de concours annulent nécessairement les deux parenthèses qui composent l’équation ( 3).
Si, parmi les droites considérées, il s’agit de celle qui passe en outre par un point [x', y), on aura l’équation de condition
(y — ax" — b)-\-m{y — a' x' — b') — o, d’où l’on déduira
y — ax' — b
En substituant cette valeur dans l’équation (3), il viendra
X — ax — b r — a! X — b'
^ y — aa/ — b y — ci — b'
Cette équation, qui représente la droite passant par un point donné et par le point de concours de deux droites données, est facile à retenir. Les premiers membres des équations des deux droites forment les numérateurs de l’expression, les dénominateurs se déduisent des numérateurs en y remplaçant y et a: par les coordonnées y et x' du point donné.
Remarques. — i®On peut déduire de ce qui précède la condition pour que trois droites soient concourantes. Soient les trois droites
X — ax — b = o, X — ^ — b'=o, x — aix—b''=o.
L’équation générale des droites qui passent par le point de concours des deux premières droites est
[x — ax — i)-f-/n ( J — a'x — 6') = o.
La troisième droite satisfaisant à la condition indiquée, son équation doit pouvoir s’identifier avec l’équation générale, de sorte qu’on aura
a-+- ma' I m
et
b -t- mb' I -\-m
En éliminant m entre ces deux relations, on obtiendra la condition déjà trouvée (^2).
2° En général, quand' trois droites sont concourantes, on peut le reconnaître immédiatement à ce que l’équation de l’une d’elles résulte de la combinaison des équations des deux autres.
38 (iÉOMÉTRIB ANALYTIQUE.
Déinonlroiis, par exemple, que les médianes d’un triangle se coupent en un même point {Compl. de Géom., 20).
Soit le triangle ABC {Jig- i4)- Nous prendrons pour axes les côtes AB et BC. Posons
AB=^, RC — q.
Les équations des trois médianes seront (37, 31 ) :
(AD
