THÉORIE DE LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

52. La définition élémentaire de la circonférence comme lieu des points à égale distance d’un point intérieur nommé centre, permet de poser immédiatement son équation.

Supposons {fig. 20) les axes rectangulaires. Soit M ou (x,y) un point quelconque de la circonférence ; soient C ou («, §) son centre et r son rayon. On aura, d’après la formule de la distance de deux points et pour tous les points du lieu,

Si le centre est sur l’axe des x, on a (3 = o; si, de plus, la circonférence passe par l’origine, on a a = r, et l’équation (i) devient

— 7.rx = o.

Si le centre est à l’origine, ^ = a = o, et l’on a simplement

Reprenons l’équation la plus générale, c’est-à-dire l’équation (i). En la développant, on peut la mettre sous la forme (*)

J.1 ^ yt ^ If y. ^ p) Q ^

et l’on voit qu’en coordonnées rectangulaires, l’équation de la circonférence est une équation du second degré qui manque de terme en xy et où. les coefficients des carrés des variables sont identiques.

Réciproquement, toute équation de la forme

(2) x'' + + ax + by c^ = O

représente en coordonnées rectangulaires une circonférence de cercle, quand elle représente une ligne.

En effet, on peut écrire cette équation comme il suit :

Si l’on suppose le second membre positif et égal à

(*) Nous désignons lo terme indépend.snt par c’ pour faire apparaître rimmojjcnéité.

iii. 4

GÉOMÉTRIE A^ALYTIQ^IE.

on obtient une circonférence ayant pour «entre le point

I — -» — - 1 et pour rayon r.

Si l’on a

le premier membre étant la somme de deux carrés, l’équation

ne peut être satisfaite que pour x — — - etj = — -, c’est-

à-dire que la circonférence se réduit à son centre.

Enfin, si l’on a — ^ c^c^o, l’équation est impossible

et ne représente rien.

53. Supposons maintenant les axes obliques et soit 6 leur angle. La Wmule de la distance de deux points donnera pour équation de la circonférence

(3) {x — «)’-!-(/ — (3)’4-2(a: — a)ix — |3)cosS = r^ .

Cette équation est de la forme

X* + 2 xy cos9 ax -h by-i- c' = o.

L'équation du cercle en coordonnées obliques est donc une équation du second degré où les carrés des variables ont des coefficients identiques et où le produit des variables a pour coefficient deux fois le cosinus de l'angle des axes, lorsque les coefficients des carrés des variables ont été préalablement ramenés à l'unité.

Réciproquement, toute équation de Informe

( 4 ) x’ 4- -I- 2 xy cos 6-\- ax + by + c' =o

représente en coordonnées obliques une circonférence de cercle, quand elle représente une ligne.

En effet, l’équation (3) développée donne

x' + y’-h 2XJC0S 0 — 2( a 4- (3 cos9)x — 2 ( (3 4-a cos 0) r -t-a’4-P’4-2 a[3cos0 — r’ = o; et pour identiûer l’équation (4) avec elle, il suffit de poser

a 4- (3 cos 0 = — -, a 4- a COS 0 = — -,

«’ 4- (3* 4- 2 «P COS 0 — r’ = c’.

Des deux premières équations, on déduit facilement ècos0 — a „ acosQ — b

2sm’0 2sin’0

r.ÉOMÉTRIE ANAI.YTIQI E. 5l

La troisième devient alors

rt’-t- b' — 2ab cosO

4sin»6l

SiVon trouve pour r’ une quantité positive, l’équation (4) représente une circonférence dont le centre a pour coordonnées a et P et dont le rayon est r.

Si l’on trouve pour r’ une quantité nulle, l’équation (4) représente un point et la circonférence se réduit à son centre.

Si l’on trouve pour r’ une quantité négative, l’équation (4) est impossible, parce que le carré de la distance de deux points ne peut pas être une quantité négative.

Pour construire requalion(4) lorsqu’elle représente une circonférence de cercle, il n’est pas nécessaire de construire les valeurs de a. et de p.

Soit, par exemple [fig. 21 ), G le centre cherché. Abaissons de ce centre sur les axes les perpendiculaires CP et CQ, menons en même temps les coordonnées CA et CB du point C. Nous aurons

OP = OA -(- AP = *-(- S cos 6 = — - ,

00 = OB ■+• BQ = [3 -t- acosQ = —

En prenant en signe contraire dans l’équation (4) les moitiés des coefficients des ternies du premier degré, on aura donc les distances OP et OQ. Élevant alors respectivement par les points P et Q des perpendiculaires aux axes, ces perpendiculaires viendront se croiser au centre C.

La figure donne d’ailleurs

0C’= -t- (3’-f- 2 «P cos 6 ,

c’est-à-dire, en vertu de la troisième relation d’identification entre les équations (3) et (4),

OC’ — r’ = c’ ou r’ = OC’ — c'-.

On obtiendra donc r par un triangle rectangle, et la valeur de OC’ comparée à celle de c’ montrera immédiatement si la circonférence existe.

Lorsque c’ est négatif, r’ est toujours positif. Si c’=o, le rayon se réduit a OC et la circonférence passe par l’origine.

Les axes étant toujours supposés obliques, si le centre est sur l’axe des .r, on a P = o; si, de plus, la circonférence passe

5a GÉOMÉTRIE ASALYTIQUE.

par l’origine, on a a = r. 1/équalion ( 3) devient alors a:’ + >■’-(- 2o:ycos0 — 9,rx — irjr cos 9 — o.

Si le centre est à l’origine, p= a=o, et l’on a simplement

x' 7,xjr cosO =/■’.

54-. Equation polaire de la circonférence. — Désignons par d et « les coordonnées polaires du centre C{ fig. 22).

La formule de la distance de deux points nous donnera immédiatement, P et w étant les coordonnées d’un point quelconque M de la circonférence,

ou

p’-f-cf’ — 2t/pcos(w — oc)=r’ p’ — 2 rfp cos ( w — a ) -f- r/’ — r’ = o.

Si le centre du cercle est sur l’axe polaire, et si la circonférence passe au pôle, on a

a = o et d=r.

Par la suppression du facteur p = o, l’équation prend alors la forme très- simple

P = 2 r cos O),

qu’on aurait pu trouver immédiatement en remarquant [fig. 9.3 ) que le triangle OMD est dans ce cas constamment rectangle.

Si la circonférence donnée passe par le pôle sans que son centre soit sur l’axe polaire, il faut simplement faire d=\r dans l’équation générale. 11 vient alors, en supprimant le facteur p= o,

P = 2 rf cos ( &) — a), équation qu’on peut mettre sous la forme

en posant

P = Acosw -f-Bsinw, 9,rfcos« = A et 2rfsina = B.

Réciproquement, toute équation de la forme P = A cos w -t- B sin w

représente une circonférence qui passe par le pôle et dont les coordonnées du centre sont déterminées par les relations

tanga = —

GÉOMÉTIllE ANALYÏIQOE. 53

55. Remaïque. — 11 esi utile de remarquer que les équations les plus générales de la circonférence en coordonnées rectilignes ou polaires renferment /ro/'s constantes arbitraires: ce qui correspond précisément au nombre de points nécessaires pour l’entière détermination d’une pareille ligne (39).

Questions relatives à la circonférence.

56. On peut facilement retrouver par l’analyse les propriétés élémentaires de la circonférence , déjà établies en géométrie.

Lorsque la circonférence est rapportée à des axes rectangulaires passant par son centre, elle a pour équation

A une même valeur de x correspondent donc ,deux valeurs de r égales et de signes contraires. Par suite, tout diamètre divise la circonférence et le cercle en deux parties égales; tout diamètre perpendiculaire à une corde divise cette corde et les arcs quelle sous-tend en deux parties égales.

L’équation (i) donne encore

Pour le point M (Jig. 24 )>

^•=MP, x=OP, r-t-a: = AP, r — x = PU,

On a donc d’une manière générale

Ml» = AP. PB,

c’est-à-dire que la perpendiculaire abaissée d'un point de la' circonférence sur le diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segments de ce diamètre.

Menons la corde AM 24). Nous aurons

AM’=^-|- (r-f-2’)’ = 2r{r-{-x),

en vertu de la relation

y^-yx^= r’.

. On aura donc d’une manière générale