AM» = AB. AP
c’est-à-dire que toute corde est moyenne proportionnelle entre le diamètre qui passe par l’une de ses extrémités et sa projection sur ce diamètre.
54 GÉOMÉTRIE AMiLYTlQUR.
Les équations des droites AM et BM sont de la forme
y = a{x-\rr), y=a'(x—r).
On en déduit
ar-+-r x — r
el
d’après l’équation de ia circonférence. Les deux droites AM et BM sont donc perpendiculaires, c'est-à-dire que tout angle ' inscrit dans une demi-circonférence est droit.
57. Tangente à la circonférence. — Soient la circonférence J-’ x’ = et la droite ax-yb. Cherchons les points d’intersection de ces deux lignes. Pour ces points et pour eux seulement , les équations proposées deviennent simultanées. Remplaçons donc dans l’équation de la circonférence y par ax+b. 11 viendra
{ax -y by -y x^ = y,
c’est-à-dire
(i) {a^-yi) x^-y2abx-yb^ — r*=o,
et les abscisses des points d’intersection seront données par formule
-ab± )/ [a' -y i) r^ — 6’ d‘-y I
la
Pour qu’il y ait intersection, x doit être réel, d’où la condition
ou , ^ . <C /'• sa^-yi
il est facile d’interpréter ce résultat. ^ ■ représente la dis-
tance de l’origine ou du centre à la droite donnée (45, Rem., i”); si cette distance est plus petite que le rayon, la droite traversera la circonférence.
Si l’on a
(fl’-i-i) y = b\
les deux racines de l’équation (i) deviennent égales, et la droite donnée est tangente à la circonférence, puisque ses deux points d’intersection se réunissent en un seul dont les
coordonnées sont
L’équation de la tangente à la circonférence s’obtiendra, en fonction du seul coefficient angulaire a, en remplaçant b par la valeur ±r v^a’-h I déduite de la relation (2) qui caractérise le contact. On aura ainsi pour cette équation
ax± r v/a’-f- i ,
et l’on voit qu’il existe toujours deux tangentes parallèles à une direction donnée.
La méthode qu’on vient d’indiquer est générale : elle s’applique toujours d’une manière simple aux courbes convexes.
Remarque. — On peut vouloir obtenir l’équation de la tangente, en fonction des coordonnées (x,, } du point de con-
tact. On tire alors des relations (3) et (4) d’abord, puis des relations {2) et(4), en les divisant membre à membre.
L’équation de la tangente^=ox-»-6 deviendra dans ce cas
c’est-à-dire
yy, 4- XX, = r*.
58. On sait que la normale à une courbe quelconque est la perpendiculaire menée à la tangente par le point de contact. L’équation de la normale à la circonférence sera doue
ou, en réduisant,
équation d’une droite passant par l’origine ou par le centre. Les normales à la circonférence se confondent donc avec ses rayons.
59. Supposons (yîg. 25) deux cordes ÂBetCD se coupant dans la circonférence au point O. Prenons ces cordes prolongées pour axes. L’équation de la circonférence sera alors de la forme
2xy cosi 6 -h ax -h by-yc- = O.
56 GÉOMÉTRIE AMALYTIQUE.
Pour avoir les points d’intersection de la courbe avec l'axe des X, il suffira de faire r=o dans son équation. On obtiendra
-+-ax-\- c’ = o.
Les racines de cette équation représentant les abscisses des points d’intersection cherchés, et le produit de ces racines étant c% on aura
OA . OB = c’.
De même, si l’on fait a: = o dans l’équation de la circonférence, les ordonnées des points d’intersection de la courbe avec l’axe des ^seront données par l’équation
de sorte qu’on aura d’où
OC . OD = c*,
