EXERCICES

60. 1° Soit proposé de mener à une circonférence O une tangente par un point extérieur A [fg. 26).

Soient (a, les coordonnées du point donné A. La question est ici de déterminer les coordonnées x, , , du point de contact de la tangente

cherchée ; car on n’aura plus qu’à joindre ce point au point donné pour déterminer la tangente.

L’équation générale de la tangente est (57)

' ,r/| -t- XX, = r L

Si elle passe par le fioint (a, p), on aura donc la relation

(1) ax, = /-L On doit avoir en outre

Ces deux équations résolvent le problème, puisipi’elles ne renferment que les inconnues x, , y,. Mais, au lieu d’opérer analytiquement, on peut construire les lieux représentés par les équations (i) et (2) lorsqu'on

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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. Sy

y regarde .r, et y, comme des coordonnées courantes (51), et les points d’intersection de ces lieux seront les points demandés. Le premier de ces lieux est une droite facile à construire (qu’on appelle co/-rfe co/j/Acrj ), le second est la circonférence donnée elle-môrae.

La condition do sécance est ici (.57)

ce qui revient à

r»<OA’,

condition toujours satisfaite si le point A est-extérieur à la circonférence.

Pour conslniire la droite MN ou corde des contacts, représentée par l’équation

nous déterminerons les points où elle coupe les axes en faisant successivement

On obtient alors

ou OK = ^ P

et r, = o.

et a:, ou OH = — •

Cktnsidérons spécialement la valeur 011 = —- Celte valeur ne dépend

que de a ; elle reste donc invariable, si le point extérieur A décrit la parallèle LL' à l’axe des y, parallèle qui a pour équation x— a.. Réciproquement, si OH ne change pas, a ne pourra pas changer et le point A restera sur LL'. On est ainsi conduit à ces deux propositions :

Si par les différents points d'une même droite, on trace des couples de tangentes h une circonférence, les cordes de contact se croiseront tontes en un même point situé sur la perpendiculaire abaissée du centre sur la droite.

Si par un même point pris dans le plan iFun cercle , on lui mène une série de sécantes, les /M)ints de rencontre des couples de tangentes menées à la circonférence par les points d’intersection correspondants, appartiennent à une même droite perpendiculaire à celle qui joint le centre au point donné.

En se reportant à ce que nous avons dit précédemment ( Compl. de Géom., 33, 34), on voit que la corde des contacts MN est la polaire du point A et que le point H est le /Me de la droite LL'.

Remarque I. — La considération de la corde des contacts, que nous généraliserons lorsque nous étudierons les courbe» du second degré, est très-utile. On voit qu’on obtient son équation en remplaçant, dans l’équation de la tangente, les coordonnées variables par les coordonnées fixes du point extérieur, et en regardant, au contraire, comme coordonnées variables, les coordonnées du point de contact.

Remarque II. — Nous avons dit que les points de contact M et K étaient donnés par l’intersection de la droite p/i-t-ax, = /•’ et du cercle = rL Si l’on retranche membre à membre ces deux équa-

tions, la nouvelle équation obtenue pourra remplacer l’une d’elles, c’està-dire que le lieu représenté par cette dernière équation passera par les

GÉOMÉTHIE ANALYTIQUE.

points d’intersection des deux précédents élém., 130). On trouve ainsi

rî — Pj', — “-p| = «> ou

équation d’une circonférence décrite sur OA comme diamètre ; ce qui ramène à la construction indiquée en géométrie élémentaire (82).

61 . 2° Etant données deux circonférences concentriques, on mène à la première une tangente qui est sécante a la seconde; trouver le Ueu des points iT intersection des couples de tangentes qui correspondent aux extrémités des sécantes ainsi déterminées (fig. 27).

Nous rapporterons les deux circonférences r et r' à des axes rectangulaires passant par leur centre commun. Menons à la petite circonférence r la tangente AB dont le point de contact N a pour coordonnées X, et J-,; par les points A et B où elle coupe la seconde circonférence r’, menons à cette même circonférence les tangentes AM et BM. On demande le lieu du point M dont nous représenterons les coordonnées variables par a et p.

L’équation de la droite AB, considérée comme une tangente à la petite circonférence, sera

yX, + ^x, = r\

L’équation de cette même droite, considérée comme corde des contacts dans la circonférence r', sera

p7--f-ax = r".

On peut écrire comme il suit ces deux équations y = ‘X-+--1,

et comme elles doivent être identiques, on aura

d'où

.r, = pi • P et X, = ^ ,

Le point N appartenant à la petite circonférence, on a d’ailleurs

Il viendra donc, en substituant les valeurs précédentes,

GÉOMÉTBIE ANALYTIQUE.

L’équalion du lieu sera, par suite,

Ce lieu est donc une circonférence, concentrique aux circonférences proposées, et ayant pour rayon une troisième proportionnelle aux rayons r et r'.

La géométrie élémentaire conduit immédiatement à ce résultat, en remarquant que le quadrilatère MAOB restant constamment égal à luiniéme, la diagonale OM y conserve la même longeur. Cette longueur est r‘^

d’ailleurs représentée par — en vertu du triangle rectangle OAM.

62. 3° Trouver le lieu des sommets d’un angle de valeur constante dont les côtés sont astreints à passer par deux points fixes [fig. 28 ).

Nous prendrons pour axe des x la ligne qui joint les deux points fixes A et B, et pour axe des y la perpendiculaire O y élevée au milieu de AB. Nous poserons