AB

Le lieu sera évidemment symétrique par rapport aux axes choisis, de sorte que son équation ne contiendra nécessairement que des puissances paires des variables x y (Alg. élém., 202).

M étant un point quelconque du lieu, si l'on désigne par V l’angle constant AMB, on aura l’équation de condition

MAx — MBj^ = V;

il en résulte

y. tangMAx — tangMBx ~ i-(- tangMAx tangMBx

X et y représentant les coordonnées du point M, on aura d’ailleurs (Al, Rem., i”), suivant que le point M sera au-dessus ou au-dessous de la droite AB,

tangMAx = — ^ et tangMBx =

JC J (l

11 viendra donc, en substituant ,

^ ,, x — d X -+-<•/ ± 2<êr

c’est-à-dire

x*—d’ ld

’ tang V

L’équation complète du lieu s’obtiendrait en multipliant les deux facteurs qui correspondent au double signe. Ces facteurs' étant tout séparés, on voit que ce lieu se compose de deux circonférences symétriquement placées par rapport à la droite AB, dont les centres situés sur l’axe des y d

ont pour ordonnées

tangV’

tang’ V

et dont le rayon commun est égal à

ou à -T—r-, (Trigon.,

sinV ' ® ’ '

6'U GÉOMÉTRIE ANALYTIQtE.

La queslion proposée revient donc à décrire, au-dessus et au-dessous de AB, deux segments capables de l’angle V.

Remarque. — Cet exemple nous conduit à remarquer que l’équation d’un lieu excède, dans certains cas, la définition de ce lieu, en ce sens (ju’une portion seule de la ligne représentée par l’équation satisfait aux conditions de l’énoncé. Ainsi, pour le problème résolu, c’est l’arc supérieur à AB dans la première circonférence, et l’arc inférieur à AB dans la seconde circonférence, qui répondent seuls à la question.

63. 4° On donne un point A et une droite BC , on mène du point à la droite le.<: sécantes .AN, AN', etc,, et l'on demande le lieu des points M, M', etc,, qui divisent ces sécantes de manière qu’on ait

AM X AN = AM'x AN'= . . . = const. (*).

Nous placerons l’origine au point A; l’axe des æ sera perpendiculaire à la droite BC, l’axe des r lui sera parallèle. Soient x, y, les coordonnées d’un point du lieu. En désignant par d la distance du point A à la droite BC, et par X’ la constante donnée, on aura successivement

.AMxAN = X% ^ = AN d

d'où , par multiplication.

.Mais