AM

AJ\P = j|-»-i-x=.

L’é(]uation du lieu sera donc

C’est une circonférence de cercle, tangente è l’origine à l’axe des y, et dont le diamètre est égal à j comme cela doit être d’après les conditions de l’énoncé. Le point M pouvant être pris symétriquement sur le prolongement de AN, une seconde circonférence identique à la première, mais placée à gauche do l’axe des y, répondra encore à la question. Pour l'obtenir en même temps que la première, il suffit do poser

AM dtzjr

On vérifie facilement le résultat obtenu par la géométrie élémentaire.

64. 5“ Trouver le lieu des points dont les distances h deux [wints fixes restent dans un rapport donné'- [,fig. 29) ( Géom., 91 ).

Soient A et B les deux points fixes considérés; soient sur la droite AB

( ’ ) l.c leclfiiir PSI prie de faire la figure.

GÉOMéTIUE A^ALYTIQUE. 6l

les deux points D et D' appartenant au lieu, c’est-à-dire tels, (pi’on ait

DA D'A m DB “ D' B ~ n'

Nous pourrons alors regarder DA et DB comme représentant effectivement les longueurs m et >i.

Nous prendrons pour axe des x la droite AB et, pour axe des 1^' perpendiculaire élevée à AB par le point D. Le lieu sera évidemment symétrique par rapport à l’axe des xet passera en outre par l’origine; son équation no renfermera donc que des puissances paires de la variable y, et no contiendra pas de terme indépendant.

Si M est un point quelconque du lieu, nous devrons avoir

MB= ~ n^'

Mais on a

MA* = y 4- ( X + «I )*, MB* = r’ 4- (x - «

L’équation du lieu sera. donc

d’où

( m' — ;/*) r*4- ( w* — «*) .r* — <imn (/«-l- «) x = o.

c’est-à-dire

•i.mn

En comparant cette équation au type (52) .y’-l- x* — arx = o, on voit • qu’elle représente une circonférence dont le centre est sur l’axe des x,

qui passe par l’origine et dont le diamètre est égal à ou à DD'.

La construction du diamètre DD' revient à diviser harmoniquement la droite -AB dans le rapport de m kn ( Contpl. de Géom., 28).

Remarque. — Si, après avoir chassé dans l'équation (i) le dénominateur du dernier terme, on suppose m = n, l’équation se réduit à

Iæ point D est alors au milieu de AB, et le lieu est précisément l’axe desj ou la perpendiculaire élevée au milieu de AB, comme l'indique immédiatement la géométrie élémentaire.

C5. 6° Trouver le lieu des painls d’où Pon peut mener h deux circonférences données des tangentes égales (axe radical).

Désignons par r et r' les rayons des deux circonférences, par (a, p), (a', P'), les coordonnées de leurs centres, par l la longueur commune de deux quelconques des tangentes qui répondent à la question. Si l’on suppose les axes rectangulaires, et si l’on considère les triangles rectangles formés par ces tangentes, par les droites qui joignent leur point do rencontre aux rentres des circonférences et par les rayons corre.spondants, on aura

(.r- ri')’-l-(x-a')’=r'’4-/*.

6a GÉOMÉTRIE ANALYTrQUE.

, Dans ces équations, .r et y représentent les coordonnées d’un point quelconque du lieu deniandé. C’est l qu’il faut éliminer. En retranchant le.s deux équations membre à membre, il viendra

Le lieu demandé est donc une droite perpendiculaire à la ligne des centres des deux circonférences données, car cette ligne des centres a pour S'— S

coefficient angulaire ^7 — Nous retrouvons ainsi les propriétés de l’axe

radical {Compl. de Géom., 62).

Les équations des deux circonférencas étant

si on les retranche membre à membre, on obtiendra l’équation d’une ligne passant par les points d’intersection de ces circonférences. Cette ligne n’estautre que leur axe radical représenté par l’équation (i). Ainsi, quand deux circonjérences sont sécantes, leur axe radical se confond avec la corde commune indéfiniment prolongée. Et, en effet, deux points suffisent pour déterminer une droite, et les tangentes menées aux deux circonférences par leurs points d’intersection sont égales comme nulles.

Si les deux circonférences ne se coupent pas, la soustraction indiquée n’est qu'un moyen de retrouver rapidement l’équation de l’axe radical. Dans cette soustraction, la quantité /* est alors sous-entendue.

D’après cette remarque, si les équations de trois circonférences sont

les équations des axes radicaux de ces circonférences considérées deux à deux seront

La troisième équation obtenue résultant de la soustraction des deux autres, le troisième axe radical passe par le point d’intersection des deux premiers. Les axes radicaux de trois circonférences prises lient à deii.r, concourent donc en un même point qui est le centre radical de ces circonférenee.s ( Compl. de Géom., 63).