EXEMPLES CHOISIS

66. Ellipse. — On appelle ellipse le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes est constante. Les deux points fixes sont les foyers ée, l’ellipse.

Soient [fig. 3o) F', F, les deux foyers. Désignons par 7. a la

somme conslanle qui raraclérise la courbe. Si l’on prend le milieu O de la dislance FF'= 2c el si l’on porte de chaque côté du point O, sur la ligne FF', des longueurs OA el OA' égales à a, les points A el A' appartiendront à l’ellipse. On aura en effet, pour le point A par exemple.

d’où

FA=OA— OF, F'A=0A4-0F', FA-t-F'A = 2a.

Si l’on élève une perpendiculaire à FF' par le point O, si l’on décrit du foyer F comme centre avec a pour rayon une circonférence qui coupe celle perpendiculaire en B el en B' (on a nécessairement a > c, sans quoi il n’y aurait pas de courbe), les points B et B' appartiendront aussi à l’ellipse ; ell’on aura, en posant BB'=2é,

Ceci posé, si M est un point quelconque du lieu, le triangle MFF' se reproduira par renversement en M'FF'; les deux triangles MFF', M'FF', se reproduiront par rotation autour de FF' en M*FF' el en M'FF'; de sorte que les quatre points M, M' M", M", appartiendront à l’ellipse. Cette remarque montre que la courbe est symétrique par rapport aux axes AA', BB' ( Géom., 73 ). On aura donc avantage à les choisir pour axes coordonnés, car à chaque valeur de l’une des variables devront alors correspondre des valeurs de l’autre variable égales el de signes contraires. Par conséquent, l’équation de la courbe rapportée au système indiqué ne pourra renfermer que des puissances paires des variables.

En posanlMF'=j/, MF = v, on a pour équation naturelle de l’ellipse

Pour avoir son équation en coordonnées rectangulaires, il suffira donc d’exprimer « et v en fonction de jr et de x. Les deux triangles rectangles MPF', MPF, donneront

r et X représentant les coordonnées du point M par rapport aux axes choisis. Il viendra par soustraction

m’ — v'=^cx ou — v) = ^cx.

c’est-à-dire