CX
Connaissant la somme «-)-e et la diflérence u — e, on aura immédiatement
ex ex
n = a-{ cl (' = «
fl a
U et e sont appelés les rayons vecteurs du point M, et il est essentiel de se rappeler leurs expressions.
Si l’on remplace maintenant par sa valeur dans l’équation il vient
c’jr’
à'-\-7.cx-\ — = -h c^ -y- 2 ex -h
ou
— c’ ) or’= ( rt’ — c’ ).
Telle est l’équation de l’ellipse qu’on peut écrire encore, en vertu delà relation «’ = 6’-|-e’,
a^y^ + b'‘x'‘ —a'b' ou (-'7-='»
en divisant les deux membres par a’i’.
On voit que l’équation trouvée ne contient que des puissances paires des variables. De plus, les deux termes du premier membre étant essentiellement positifs, chacun d’eux est moindre que I, tant que l’autre n’est pas égal à o. ne peut donc varier que de — a à + a, et ^ que de — 6 à 4- i. Les deux coordonnées varient d’ailleurs en sens inverse. Ainsi l’ellipse est une courbe limitée dans tous les sens, comme l’indique la figure. Nous l’étudieronsplus tard spécialement comme courbe du second degré. Si l’on suppose a = b, l’équation du lieu devient
Le cercle n’est donc qu’une ellipse dont les deux foyers se confondent.
Remarque. — Si les axes étant toujours rectangulaires, on veut transporter l’axe des y au point A', il faut remplacer dans l’équation de l'ellipse .r par x' — a ou simplement par X — a. Il vient
a^Y‘-y-b''{x — a)^=.à‘b^ ou a^y^-\-b'‘x‘ — 2ab‘‘x = o.
67. Hyperbole. — On appelle hyberbole le lieu des points dont la différence des distances à deux points fixes est constante. Les deux points fixes sont \e,^ foyers de l’hyperbole.
Soient {fg. 3i ) F et F' les deux foyers. Désignons par ?. a la différence constante qui caractérise la courbe. Si l’on prend le
GÉOMÉTIUE ANALYTIQUE. 65
milieu 0 (Je la dislance FF'= ac el si l’on porte de chaque côté du point O, sur la ligneFF', des longueurs OA et OA' égalesà a, les points A el A' appartiendront à l’hyperbole. On aura en effet, pour le point A par exemple,
d’où
FA = OF— OA, F'A=OF'-t-OA.
F'A-FA=2rt
(on a nécessairement c>a, sans quoi il n’y aurait pas de courbe).
Ceci posé, si M est un point quelconque du lieu, le triangle MFF' se reproduira par renversement en M'FF'; les deux triangles MFF', M'FF', se reproduiront par rotation autour de FF' en M"'FF' et en M"FF'; de sorte que les quatre points M, M', M", M", appartiendront à l’hyperbole. Cette remarque montre que la ccurbe est symétrique par rapport à la droite AA' et par rapport à une perpendiculaire BB' élevée à cette droite par le point O. On aura donc avantage à choisir pour axes coordonnés ces axes de symétrie (66).
En posant MF' = u, MF = t',on a pour équation naturelle de l’hyperbole
D’ailleurs les triangles rectangles MPF', MPF, donnent w’=^’ + (^+c)’, c==j’-)-(a: — c)’.
Il en résulte d’où
M’ — e’ = 4 ex.
u-hvz=
a ex a
Connaissant la somme w-i-e cl la différence u — c, on a immédiatement
ex
H— ha,
u el V sont les ray ons vecteurs du point M. En remplaçant iP par sa valeur dans l’équation «’ =7* -h ( c -t- x )% on trouve
équation cjui diffère de celle de l’ellipse en ce que e l’emporte sur a. Si 1 on pose c’ — a’ = b', il vient pour équation de l’hvperbole
a'y^—h^x^ — —a'b* ou - —
(JÉOMÉÏIUE ANALYTIQUE.
La différence des termes du premier membre (qui sont euxmêmes essentiellement positifs) devant être égale à i, aucune valeurde x ne peut tomber entre — a et -t- a. Par suite, si l’on mène par les points A et A' des parallèles à l’axe des r> aucun point de la courbe ne peut tomber entre ces deux parallèles. Pour x = o, J est alors imaginaire. D’ailleurs, les deux variables devant croître en même temps, la courbe s’éloigne à la fois de l’axe des x et de l’axe des j, tant dans le sens positif que dans le sens négatif. Elle est donc composée de deux parties illimitées, comme l’indique la figure. Nous étudierons plus lard spécialement l’hyperbole comme courbe du second degré.
Remarque. — Si, les axes étant toujours rectangulaires, on veut transporter l’axe des j au point A, il faut remplacer dans l’équation de l’hyperbole x par x'+a ou simplement par x-\-a. Il vient
n'y' — b'{x-yaY= — a'b' ou a'y' — b'x"- — 2ab'x=:o.
68. Parabole. — On appelle parabole le lieu des points ù égale distance d’un point fixe et d’une droite fixe. Le point fixe est le foyer, la droite fixe est la directrice de la parabole.
Soient [fig- 82) F le foyer, LL' la directrice. Si du point F nous abaissons la perpendiculaire FD sur LL', le lieu sera évidemment symétrique par rapport à celte perpendiculaire. Do plus, le point O, milieu de la distance FD, appartiendra à la courbe. On est ainsi conduit à prendre FD pour axe des x et à faire passer l’axe des y par le point O perpendiculairement à FD. On sera sûr alors d’éviter les termes contenant y à une puissance impaire; en outre, la courbe passant par l’origine des coordonnées, son équation devra être satisfaite pourar = *> et r = o, c’est-à-dire qu’elle ne renfermera pas de terme indépendant des variables.
Ceci posé, désignons par p la distance du foyer à la directrice. Si l’on écrit MF=« et MQ = e, l’équation naturelle du lieu est
D'après le triangle rectangle MFP, on a
On a d’ailleurs
Par conséquent, l’équation de la parabole en coordonnées
GÉOMÉTniE AHALYTIQUK.
reclangulaires sera
Le foyer élaril à droite de la directrice, comme nous l’avons supposé, il est clair que la courbe ne peut avoir aucun point situé à gauche de l’axe des y, tous les points situés à gauche de cet axe étant nécessairement plus rapprochés de la directrice que du foyer. C’est ce que confirme la forme de l’équation. La courbe s’étend donc seulement à droite de l’axe des/, mais d’une manière illimitée, les deux variables devant croître ensemble.
La parabole compose, avec l’ellipse et l’hyperbole, les trois courbes du second degré, célèbres depuis les Grecs sous le nom de sections coniques, parce qu’on les obtient toutes les trois en coupant un cône par un plan sous différentes inclinaisons.
/' =ZL-ipX.
69. Proposons-nous de chercher le lieu des points dont les distances à un point fixe et à une droite fixe sont constamment proportionnelles et dans le rapport donné
Soient (fig. 33) F le point donné et LL la droite donnée. Abaissons FD perpendiculaire sur LL et divisons FDau pointA
dans le rapport^- La courbe cherchée sera symétrique par
rapport à FD et passera au point A. Nous prendrons donc FD pour axe des x et la perpendiculaire .\/ à FD pour axe des/. On peut, de plus, regarder AF comme égal à p et AD comme égal à q.
Si l’on pose MF=« et ^10 = 1», l’équation naturelle du lieu sera
Le triangle rectangle MFP donne d’ailleurs
u=^ \/ -h{x — pY, ‘
et l’on a
v — x-yq.
En substituant dans l’équation (1), après avoir chassé les dénominateurs et élevé au carré, on aura donc pour l'équation du lieu en coordonnées rectangulaires
q^[f-\-{x — pY]=pHx-hqY,
c’est-à-dire
q\r' -y{q^ — p') X- — ■>.pq[q + p) X z= Q.
GÉOMÉTIUE ANALYTIQUE.
En se reportant aux remarques qui terminent les n"* 66 et 67 et au n" 68 lui-même, on voit immédiatement que le lieu demandé est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant qu’on a
r’est-à-dire suivant que le rapport donné - est plus petit que
I, plus grand que i ou égal à i.
Dans le cas de la parabole, le point F est le foyer de la courbe, la droite LL en est la directrice.
S’il s’agit d’une ellipse, en identifiant l’équation obtenue avec l’équation a'y^+b'x’’ — inh' x = ii, on trouve facilement
et
S’il s’agit d’une hyperbole, en identifiant l’équation obtenue avec l’équation a\}"‘—b'x' — lab'x — o, on trouve
et
Or, dans le cas de l’ellipse, si le point fixe donné F se confond avec le foyer correspondant de la courbe, on doit avoir
AF ou p = n — c = a — — b’.
Dans le cas de l'hyperbole, on doit avoir
AF ou P — c — a = \J a' -yb^ — a.
C’est ce qu’on trouve en effet, en substituant à a et à 6 leurs valeurs en fonction de p et de q.
Par analogie avec la dénomination adoptée relativement à la parabole, on donne alors aussi le nom de directrice à la droite LL, quand le lieu est une ellipse ou une hyperbole. La symétrie de ces dernières courbes par rapport à leurs deux foyers indique immédiatement l’existence d’une seconde directrice qui répond au second foyer. Nous reviendrons plus tard sur ce sujet.
70. Cissoïde ( de Dioclès). — On donne une circonférence C et une tangente BL à cette circonférence. Par l’extrémité A. du diamètre AB qui passe par le point de contact B, on mène une sécante quelconque. DI étant la partie de cette sécante interceptée entre la circonférence et la tangente, on prend sur la sécante mobile, à partir de son extrémité fixe, et à droite de
celte extrémité, AM = Dl, et l’on demande le lieu du point M
(fs- 34.)
La courbe engendrée est évidemment symétrique par rapport au diamètre AB. La sécante mobile s’éloignant du diamètre AB, la distance DI et, par suite, la distance AM croit indéfiniment. Donc la cissoïde est une courbe illimitée. Lorsque la. sécante mobile se rapproche du diamètre AB, la distance DI ou la corde AM tend vers zéro. Donc, d’après la définition générale indiquée en géométrie (56), le diamètre AB est tangent au point A aux deux branches de la cissoïde. La courbe coupera évidemment la circonférence G en deux points E et E' situés aux extrémités du diamètre perpendiculaire à AB. Enfin, puisque AM = Dl, on a aussi
