COS

par suite,

t/sin’w

cosw

L’équation polaire de la cissoïde est donc t/sin’w

^ COSM

En désignant par^ et y les coordonnées du point M, rapporté aux axes Xx et Ay, on a (28)

sinw = '^. coso)= -1 p*= -t-

«ÉOMÉTIIIE Al.ïTiyi'E.

SubsliUianl, on trouve

dy^

c’est-à-dire

pour l’équalion de lacissoîde en coordonnées rectilignes.

Cette équation montre, comme la discussion géométrique, que X ne pouvant recevoir de valeurs négatives et croître positivement au delà de d, la courbe est tout entière comprise entre les deux parallèles ky et BL. A mesure que x se rapproche de d, X tend vers l’infini : donc la courbe est illimitée et a la droite BL pour asymptote.

On peut décrire comme il suit la cissoïde d’un mouvement continu (Newton) ; prolongeons AB vers la gauche d’une longueur égale au rayon delà circonférence; supposons un angle droit dont un côté indéfini passe constamment par le point fixe ainsi obtenu et dont l’extrémité de l'autre côté, toujours égal au diamètre AB, décrive le diamètre perpendiculaire EE' : le milieu de ce dernier côté tracera la cisso’ide ; c’est ce qu’on vérifiera facilement par la géométrie ou par l’analyse.

71. Cycloide. — Un cercle O roulant sans glisser sur une droite AB, en restant toujours dans le même plan, la courbe engendrée par un point quelconque M de sa circonférence s’appelle cycloXde (jig. 35).

Considérons le cercle générateur dans sa position initiale, et supposons que le point M se confonde alors avec le point de contact A. Le cercle roulant, le point M s’élèvera sur sa circonférence, et lorsque le nouveau point de contact sera devenu A', le point mobile occupera une position telle, qu’on ait

arc A'M = AA'

(puisqu’on suppose que le roulement est constant, c’est-àdire qu’aucun glissement ne se produit). Donc, en désignant par Z l’arc qui sépare le point de contact actuel de la circonférence du point mobile, et par u la distance de ce même point de contact au point de contact initial, on aura pour équation naturelle de la cycloïde

lt=Z.

On voit que si l’on mène Mm parallèle à AB jusqu’à la position initiale du cercle générateur, on aura

mM = AA' = arc A' M = arc Am ;

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GÉOMÉTIIIE ANALYTIQUE.

remarque qui fournit une construction immédiate de la courbe par points. L’arc Am représente alors la coordonnées et la parallèle mM la coordonnée u.

Après une révolution entière du cercle générateur, le point mobile M se retrouvera en B, de sorte que la courbe se composera d’une infinité d’arcs égaux, tels que AilB. La distance maximum de M à la droite AB est évidemment le diamètre IH du cercle générateur. Le point 1 étant le milieu de AB=:27t/’ {en désignant parc le rayon de ce cercle), l’arc AHB sera symétrique par rapport à la perpendiculaire III à AB.

Cherchons l’équation de la cycloïde en coordonnées rectilignes, en prenant la droite AB pour axe des x et la perpendiculaire A^'pour axe des y. Nous aurons, en appelant a l’angle A'0'M(7’«^.,1),

z = ra.

D’ailleurs

A'P= j:-i-()'C=:a.'-|-csina.

Il viendra donc, à la place de « = z,

{i) , jc-t-/-sina='ra.

Mais on a

v=Ml‘ = /-(-MC=/- — /'COS a.

On en déduit

cos«= sma— -U2/')- — a = arccos

L’équation (i) deviendra donc

■ rare cos — ' :

\j7.ry—y\

sin a étant positif ou négatif suivant que a est plus jietit ou plus grand que ti, on devra prendre le signe — ou le signe -I- du radical, suivant qu’on sera en deçà ou au delà de l’axe de symétrie III ou suivant que le point m appartiendra ou non à la première moitié de la circonférence du cercle générateur.

L’équation trouvée donne bien tous les arcs égaux { en nombre illimité) qui composent la cycloïde; car à un meme

cosinus - - correspondent une infinité d’arcs { Trig., 8):

à une même valeur de y correspondent donc une infinité de valeurs de x qui diffèrent entre elles d'un nombre exact de circonférences.

ya (iéOMÉTKIE A.XALYTIQtE.

Nota. — Un point lié invariablement au cercle mobile décrit une cj’cloïde allongée ou raccourcie, suivant qu’il est à l’intérieur ou à l’extérieur de ce cercle.

Lorsqu’on remplace la droite fixe par un cercle fixe, les conditions du mouvement du cercle mobile restant les mêmes, la courbe engendrée par un point lié invariablement au cercle mobile est une épicyclotde plane.

72. Spirale de Conon ou d’Archimède. — On suppose la droite OM tournant dans son plan autour d’un de ses points, en^s’écartant de la droite OX; le point M, mobile sur OM, y~ parcourt des longueurs égales, tandis que la droite OM décrit des angles égaux : le point M trace alors sur le plan une spirale d’Archimède [Jig. 36).

Les coordonnées polaires sont ici les coordonnées naturelles. Admettons qu’au moment où la droite OM se confond avec l’axe OX, le mobile M soit en O, et qu’après une révolution entière il soit en N. Soit dmm' la circonférence décrite du pôle O avec un rayon égal à l’unité. Nous devrons avoir, pour un point M quelconque du lieu,

OM arc dm

c’est-à-dire

2 Trp = ON. w.

Si l’on désigne la longueur ON, qui caractérise la spirale d’Archimède ou qui en est le paramètre, par l, et si l’on pose

~=a, l’équation de cette spirale sous sa forme la plus simple sera

P = aw.

Le rayon vecteur, qui se confond avec OX, s’accroît de l pour chaque révolution de la droite mobile; après n révolutions, on aura donc

ç>=nl,

c’est-à-dire qu’à chaque révolution tous les rayons vecteurs s’accroissent ensemble de /.

Connaissant / , on décrira très-facilement la courbe par points : c’est ce qu’indique suffisamment la figure (*).

La spirale peut faire autour du pôle O une infinité de circonvolutions.

(*) l^'excfitiriqut^ en cœur à l’aide duquel on transforme unijonnément un mouvcmenl de rotation circuluirc ca mouvement rectiligne, est limité par une spirale d'Arcbiraèdc.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQOK.

QUESTIONS PROPOSÉES

I. Inscrire un carré dans un triangle; cas où ce carré est maximum.

II. Inscrire dans un triangle un rectangle de surface donnée. Discussion et construction.

III. Inscrire dans une sphère donnée un cylindre dont le volume ait un rapport donné m avec la somme des deux segments sphériques (inférieurs à un hémisphère) que ses bases déterminent. On construira le cylindre

pour —

IV. Démontrer que, dans tout quadrilatère complet, les milieux des trois diagonales sont en ligne droite (Compl. de Géom., 31).

V. Trouver le lieu des points qui divisent dans un rapport connu les droites menées d’un même point fixe aux différents points d’une droite donnée.

VI. Dans un quadrilatère quelconque, on inscrit un parallélogramme astreint seulement à avoir ses côtés parallèles aux diagonales du quadrilatère ; trouver le lieu du point de rencontre des diagonales du parallélogramme.

\TI. Un triangle tourne autour de l’un de ses sommets supposé fixe, en restant semblable à lui-mémo ; son second sommet étant astreint à se trouver toujours sur une droite donnée, quel sera le lieu décrit par le troisième sommet?

VIII. Trouver le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une circonférence donnée.

IX. Démontrer que, si d’un point quelconque d’une circonférence circonscrite à un triangle, on abaisse des perpendiculaires sur ses côtés, les pieds de ces perpendiculaires sont en ligne droite.

X. Retrouver par l’analyse les conditions relatives aux cinq positions que deux circonférences données peuvent occuper Tune par rapport à l’autre.

XI. Par un point pris dans le plan d’un cercle, lui mener une sécante telle, que la corde interceptée soit égale à une ligne donnée. Discussion.