THÉORIE DES TA^GEOTES

73. Comme nous l’avons dil en Géométrie (56), la tangente en un point M d’une courbe quelconque {fig- 37) est la limite des positions successives prises par une sécante MM'M" qui tourne autour du point M , jusqu’à ce que l’un de ses autres points d’intersection M' soit venu se confondre avec le point M.

Si l’on désigne par x„ y,, les coordonnées du point M qu’on appelle point de contact, l’équation de la tangente sera de la forme

et il s’agit de déterminer le coefficient angulaire m.

Désignons par et par jTi+A les coordonnées du

point M'. Le coefficient angulaire de la sécante MM'M" qui passe par les deux points M et M', sera

T ou T-

A mesure que la sécante se rapproche de la tangente, k et h tendent ensemble vers zéro, tandis que leur rapport tend vers une limite déterminée qui est la valeur de ni. Mais /r représente l’accroissement de l’ordonnée de la courbe, et h l’accroissement de son abscisse, quand on passe du point M au point M',

jf

La limite du rapport ^ est donc précisément la valeur que

prend la dérivée de l’ordonnée y de la courbe, considérée comme fonction de l’abscisse x correspondante, lorsqu’on arrive au point M {Compl. d’Àlg., tli).

Si l’équation de la courbe est de la forme y= f{x), on aura donc

{*) Dans tout cc Livn*, nous no. considrronms que les r<torilonm*es rccliligncs.

y6 GÉOMÉTItlË ANALYTIQUE.

Si la fonction est implicite, c’est-à-dire si l’équation de la courbe est de la forme F[x, y)~o, on aura (Compl. d^Alg., 142)

Dans le premier cas, l’équation de la tangente au point M sera r—ry—f'[xx)[x—x,).

Dans le second, cette équation deviendra

r— ri= — ^.)- ^ y,

74. Exemples. — i“ Soit l’équation du cercle (52) x^ + }'^= r’.

Nous aurons

L’équation de la tangente au point (jt, , j,) sera donc

OU, en y joignant la condition x\ -Hjî = r’, jniisque le point (.r,,^',) est sur la courbe,

yj,-\-xx,= r\

comme nous l’avons déjà trouvé par une autre méthode (58). 2“ Soit l’équation générale des courbes du second degré

Cx’-h Djr-hFx -+- F = o.

Nous aurons

F'^= B>-|- -I- E, F^= 2 Aj-i- Bx -f- 1).

L’équation de la tangente au point {x,, yi) sera donc B^i-I- 2Cx,-l- E

2 A^-,-f- Bj?i -1- D

ou

(2A^',-t- B.r,-|- D)(r — Vi)-i-(Bj, ■+• 2Ca-,-t-E)(.r — x,) = o.

On a de plus l’équation de condition

A vî-l-B.r,r.-l-L.*î-t-D)-,-)-E.r,-f-F = o.

GÉOMÉTRIE AKALÏTIQUE. 7^

Si l’on multiplie celle équation par 2 et si on l’ajoute memhrc à membre avec l’équation de la tangente, on obtient cette dernière sous la forme suivante, utile à retenir,

(2Aj,+ Bx,-(-D)7 + (B7',-t-2Cx,-4-E)2r -h 1)7*1 4- Ear,-)- 2F = O.

3® Soit encore l’équation de la cisso’ide (70)

y'>=— ou dy^ — xy'‘ — x^=o.

Nous aurons

F^= — 7*’ — 3x’, V'^=ïdy — 2x7*.

L’équation de la tangente au point (x*. , t*,) sera donc

7*;-t-3jTî

avec la condition

dy^ — x,y^ — x^, = O,