La perpendiculaire menée à la tangente par le point de
^8 GÉOMÉTUIE AKALITIQUE.
coiilacl, esl la normale à la roiirbe. La normale au point (x\, y',) aura donc pour équation (en supposant les coordonnées rectangulaires)
en y joignant toujours la condition
F { j:, , Tl ) = O.
Exemple. — La normale au point (x, , j,)*du cercle
aura pour équation
ou, en simplifiant,
■ -rj,
comme nous l’avons déjà trouvé (59).
77. Tangente passant par un point extérieur. — Si l’on demande de mener à la courbe F(:r, ^) = o une tangente qui passe par un point extérieur donné {x^, y,), les inconnues du problème seront les coordonnées x, , y,, du point de contact.
L’équation de la tangente devant être satisfaite par les coordonnées du point (.r,, J,), les inconnues cherchées devront satisfaire aux deux équations
Si l’on regarde x, et y, comme des coordonnées courantes, on pourra, au lieu de traiter la question par le calcul, chercher les points d’intersection de la courbe représentée alors par l’équation (i) avec la courbe proposée elle-même (60).
Remarque. — ün traiterait de même la question qui consisterait à mener une normale passant par un point extérieur.
78. Tangente parallèle à une droite donnée. — Si l’on demande de mener à la courbe F [x, j) = o une tangente parallèle à une droite donnée ayant m pour coefficient angulaire, les inconnues du problème seront encore les coordonnées x,.
GÉOMÉTRIE ANALVTtQUE. 79
>■, , du point de contact. Les inconnues cheictiées devront évidenunent satisfaire aux deux équations
et
Si l'on regarde x, et comme des coordonnées courantes, on pourra, au lieu de traiter la question par le calcul, chercher les points d’intersection de la courbe représentée par l’équation (i) avec la courbe proposée elle-même.
Remarque. — On traiterait de même la question qui consisterait à mener une normale parallèle à une droite donnée.
79. Équation générale des tangentes à une courbe donnée. — I/équation générale des tangentes à une courbe donnée s’obtient en exprimant la condition de tangence, indépendamment des coordonnées du point de contact spécial. Pour cela, on cherche la relation qui doit exister entre le coefficient angulaire et l’ordonnée à l’origine d’une droite quelconque y—mx -+■ n, pour qu’elle soit tangente à la courbe proposée.
On peut, comme nous l’avons fait pour la circonférence (57), éliminer J entre l’équation de la droite et celle de la courbe. En exprimant alors que l’équation résultante a deux racines égales, on obtient la relation voulue. Le plus simple est, en général, au lieu d’appliquer la théorie connue [Conipl. d’Àlg., 211), de chercher la condition de divisibilité du premier membre de l’équation trouvée par le facteur [x — pf, P étant une constante arbitraire. En poursuivant la division, on arrive à un reste du premier degré en x. On égale à zéro les coefficients de ce reste, qui sont fonction de quantités connues et des indéterminées m, n, p; et en éliminant p entre les deux équations posées, on a la relation cherchée entre m et n.
Ce procédé sera surtout préférable lorsqu’il s’agira de courbes du second degré, car il n’y aura qu’à écrire dans ce cas la condition
— ^ac — o {Àlg. élém., 187).
On peut aussi, et cette marche est complètement générale, prendre l’équation de la tangente à la courbe
y joindre l’équation de condition F(æt,, ) = o et identifier
8o GÉOMÉTIUE ANALYTIQUE.
l’équalion de la droite + n avec l’équation de la tan-
gente. On aura ainsi les trois équations
m = — F(a:„ri) = o.
En éliminant entre elles les coordonnées x, et y, du point de contact variable, on obtiendra entre m et « la relation qui caractérise le contact.
Remarque. — On traiterait de même, en suivant le second procédé, la question qui consisterait à trouver l’équation générale des normales à une courbe donnée.
