Tangente commune à deux courbes données. — Soient

= o et <p(x, jy) = o

les équations des deux courbes. Supposons que les coordonnées du point de contact de la tangente commune avec la première courbe soient x,, , et que les coordonnées de son

point de contact avec la seconde courbe soient x-x, y\.

L’équation de la tangente commune sera, par rapport à la première courbe,

et l’on aura en même temps

L’équation de la tangente commune sera, par rapport à la seconde courbe,

et l’on aura en même temps

Mais les équations (1) et (3) représentant une même droite doivent être identiques; ce qui donne les équations de condition

Les inconnues du problème sont x,, j,, x,, j,, et l’on aura, pour les déterminer, les quatre équations (2), (4), (5) et (6).

^ CÉOMÉTRIE AHALYTIQUE. 8l

Remarque. — On irailerail de même la question qui consisterait à mener une normale commune à deux courbes données.

8t. La méthode qu’on vient d’indiquer est complètement générale; mais la suivante est préférable lorsqu’il s’agit de courbes du second degré.

Représentons par l’équation de la tangente

commune. Cherchons les abscisses des points d’intersection de cette droite avec la courbe F(x, j) = o, et écrivons que l’équation résultante a deux racines égales. Opérons de la même manière relativement à la courbe f) = o. Nous obtiendrons deux équations entre les indéterminées m et n, qui nous permettront de les calculer, c’est-à-dire d’établir l’équation de la tangente commune.

Exemple. — Cherchons la tangente commune à deux circonférences. Nous supposerons le centre de la première circonférence à l’origine des axes d’ailleurs rectangulaires, et le centre de la seconde circonférence situé sur l’axe des x.

Les équations des deux circonférences seront alors

Les équations qui donneront les abscisses des points d’intersection de ces circonférences avec la droite seront

(3) [m'‘-^i)x'-^ 'iLmnx n} — /•’= o,

(4) (m’-l- i)x’ — a{a — mn)x -H a’-f-n’ — o.

Pour que leurs racines soient égales, il faut qu’on ait

(б) (ffi a -H n)’= r'’ (m’-f- i).

Telles seront les deux équations de condition.

Si l’on veut éviter le calcul des quantités m et ra et ramener la question à une construction géométrique, on remarquera qu’en faisant y=o dans l’équation y — mx-\-n de la tangente commune, on trouve x = — ^ pour l’abscisse du point

où elle coupe l’axe des x. Or, en divisant les équations (5) et (6) l’une par l’autre et en extrayant la racine carrée du résultat, il vient

mx-yn

d’où

Il suffira de construire celle quantité pour obtenir ies centres de similitude des deux circonférences données (Compl. de Géom., 69); et en menant, des points ainsi déterminés sur l’axe des x, des tangentes à l’une des circonférences proposées, on aura les quatre solutions qui répondent en général à la question (Géom,, 83).