Concavité et convexité des cocbbes

On dit qu’une courbe est convexe vers les y positifs ou concave vers les r négatifs en un point M, lorsqu’elle est aux environs de ce point comprise dans l’angle aigu formé par la tangente à la courbe au point M avec l’axe des abscisses.

Lorsque la courbe est au contraire située dans l’angle obtus formé par la tangente avec l’axe des abscisses, on dit qu’elle est au point M concave vers les y positifs ou convexe vers les y négatifs.

Cherchons à quels signes on peut reconnaître la concavité ou la convexité d’une courbe, et désignons pour plus de rapidité par y le coefficient angulaire de la tangente à cette courbe.

Si la courbe est convexe vers les y positifs (fig. 38), on voit que y diminue à mesure qu’on s’avance sur la courbe dans le sens des x positifs'. Par suite, la dérivée de j' doit être négalue (Compl. d’Jlg., liS), c’est-à-dire qu’on doit avoir

Si la courbe est concave vers les y positifs (fig. 3q), on voit que^ augmente à mesure qu’on s’avance sur la courbe dans le sens des x positifs. Par suite, la dérivée de y' doit être positive, c’est-à-dire qu’on doit avoir

De plus, par la figure même ou en se rappelant Cî3) que, dans l’expression A est une quantité essentiellement positive, tandis que h est l’accroissement positif ou négatif de l’ordonnée de la courbe, on voit que celte ordonnée croît ou décroît suivant que la valeur de y' est positive ou négative.

Ainsi, pour connaître la marche de l’ordonnée, on pourra consulter le signe de j'; et pour savoir si la courbe est convexe ou concave vers les y positifs, on pourra consulter le ïigne de/". La convexité correspondra à y"<C.o, la concavité

J 11 sera d’ailleurs souvent plus simple de s’arrêter à cette re-

GÉOMÉTBIE ANALYTIQUE.

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GÉOMÉTUIE ANALÏTlyUE. 8iî

marque ; il y a convexité ou concavité vers les y positifs, suivant que y diminue ou augmente à mesure qu’on marchevers les X positifs.

Exemple. — Soit la cissoïde pour laquelle nous avons trouvé (74)

Pour savoir comment f varie lorsque x croît de o à d, il faut éliminer y à l’aide de l’équation de la courbe. On obtient

, Srf.r’ — a.r’ id — o.x

■?.x si X {d — xy

Il viendra donc

PourÆ: = o, on trouve j' = o, c’est-à-dire que l’axe des x est tangent à la courbe à l’origine, comme nous l’avons déjà remarqué (70, 75). On voit en outre quejr^ croît avec x pour la branche de courbe supérieure à l’axe des x (branche qui correspond au signe -1- du radical), et décroît au contraire à mesure que x augmente pour la branche inférieure à cet axe. Par conséquent, la branche supérieure de la cissoïde tourne sa concavité vers les y positifs, tandis que la branche inférieure tourne vers eux sa convexité.

83. Points maximums et minimums. — Lorsque l’ordonnée d’une courbe diminue après avoir augmenté, elle passe par une valeur maximum, et le point correspondant est en général un point maximum. Lorsque cette ordonnée augmente après avoir diminué, elle passe par une valeur /niViiVn«m, et le point correspondant est en général un point minimum.

Les points A et G (fig. 4°) sont des points maximums ; les points B et D sont des points minimums.

y représentant la dérivée de l’ordonnée y considérée comme fonction de l’abscisse x, on voit que, pour un maximum, y devient négative après avoir été positive, puisque la fonction décroît après avoir été croissante. C'est l'inverse pour un minimum (voir le Compl. d’ydlg., p. 5o6 et suiv.). Ainsi, pour les points remarquables considérés, y passant du positif au négatif ou du négatif au positif, doit s’annuler. Nous supposons que y reste une fonction finie et continue de x.

On devra donc chercher les abscisses des points maximums et minimums parmi les valeurs de x qui rendent la

84 GÉOMÉTRII! ANALYTIQUE.

dérivée y' ou le coefficient angulaire de la tangente à la courbe égal il zéro ; c’est-à-dire qu’aux points que l’on veut déterminer, la tangente à la courbe est parallèle à l’axe des x. Pour le maximum, y' va décroître; donc j^'" doit être <Co. Pour le minimum, y' va croître; Aonc y" doit être'^o.

Exemples, i” Soit l’équation de l’ellipse (66)

a' y'' -t- b’ x' = lé.

On a alors

Pour x = O, on a

y'=o et y = ±b.

De plus, yé passe du positif au négatif, lorsque x passe d’une valeur négative très-petite en valeur absolue à une très-petite valeur positive, r étant positif; c’esl l’inverse pour j négatif. Le point où l’ellipse coupe la partie positive de l’axe des j est donc un maximum, le point où elle coupe la partie négative de cet axe est un minimum.

2“ Soit l’équation de la cycloïde (71)

X = rare cos

sjiry—y\

On trouve, en dérivante; par rapport à r{Compl. d’ Àlg.,\^9),

c’est-à-dire

— r j ’ 2 \j7.ry — y^