ry — y

On aura donc (Compl. d'Àlg., 131)

Pour ona j'=o: ce qui indique comme précédem-

ment (71) que la courbe passe par un maximum chaque fois que le point mobile se confond avec l’extrémité supérieure du diamètre du cercle générateur qui est perpendiculaire à la droite fixe.

Remarque. — Les points maximums et minimums dépendent des axes employés et peuvent varier lorsqu’on passe

GÉOMÉTlllE ANALYTIQUE. * 85

d’un système à un autre, de sorte qu’ils n’ont pas une existence absolue relativement à la courbe qu’on considère.

85h. Points singuliers. — Les points singuliers d’une courbe sont indépendants du choix des axes; en ces points, la courbe présente une disposition remarquable qui la caractérise.

Points d' inflexion. — En un point d’inflexion 4i), la

courbe change d’allure, c’est-à-dire devient concave après avoir été convexe (82 ) ou réciproquement. Par suite, à partir d’un point d’inflexion, la dérivée première y' diminue après avoir augmenté jusqu’à ce point ou augmente après avoir diminué.

Il en résulte que y" ou la dérivée seconde passe alors d’une valeur positive à une valeur négative ou d’une valeur négative à une valeur positive. Les points d’inflexion correspondent donc, en général, aux valeurs de y et de x qui, satisfaisant à l’équation de lu courbe, rendent en outre y" égale à zéro. Il faut d’ailleurs toujours s’assurer du changement de signe de y" après le point d’inflexion.

Il peut arriver que ce changement s’opère et corresponde au passage de y' par l’inlini (flg. 4' )•

Points multiples. — Si plusieurs branches d’une même courbe viennent passer par un même point sans s’y arrêter, et si en ce point la courbe admet plusieurs tangentes distinctes, ce point est un point multiple. Le point multiple considéré est double, triple, etc., suivant le nombre des tangentes correspondantes.

En général, pour un point multiple, la valeur de^*' se présente sous la forme En effet, si les polynômes et

ne devenaient pas nuis pour les coordonnées du point multiple considéré, y' aurait en ce point une valeur unique. On fera alors usage du procédé indiqué au n“ 75, en transportant l’origine au point multiple lui-même.

Points de rebroussement. — Lorsque deux branches de(. «(i courbe viennent s’arrêter en un même point où elles ont une’ . . , tangente commune, ce point est un point de rebroussement.

Le rebroussement est de première espèce, lorsque les deux^ ^ il branches de courbe sont r/e part et d'autre do la tangente^ ^ commune. Dans le cas contraire, le rebroussement est de se-r conde espèce. v> «v '*

Reprenons la valeur de y' relative à la cycloïde, savoir L'i,..'. ,

' tf W •), ^ (• 1,1 , ' '

86 • GÉOMÉTRIE A^ALYTlQlJE.

Pour )' = O , on a

c’esl-à-dire que tous les points où la courbe vient couper l’axe des X sont des rebroussements de première espèce.

La cissoïde présente un pareil rebroussement à l’origine.

Points isolés ou conjugués. — On appelle ainsi des points dont les coordonnées satisfont à l’équation d’une courbe, sans qu’ils appartiennent à aucune branche de cette courbe.

Points d’arrêt et points saillants ou anguleux. — Lorsqu’une seule branche d’une courbe vient s’arrêter brusquement en un certain point, ce point est un point d’arrêt.

Lorsque deux branches d’une courbe viennent s’arrêter brusquement en un même point où elles ont deux tangentes distinctes, ce point est dit saillant ou anguleux.

Les courbas transcendantes seules peuvent présenter des points d'arrêt ou des points saillants.

La théorie complète des points singuliers fait partie du calcul différentiel.