THÉORIE DES ASYMPTOTES

85. Lorsqu’une courbe est illimitée, c’est-à-dire présente une ou plusieurs branches infinies, l’une de ces branches peut en poursuivant son cours s’approcher indéfiniment d’une certaine droite sans jamais l’atteindre; cette droite est alors une asymptote de la courbe proposée.

Soit {Jig. 4a) la branche de courbe AMS. Si, à partir du point M, les perpendiculaires abaissées des différents- points de la courbe sur la droite rs diminuent constamment et ont pour limite zéro, la droite rs est une asymptote de la branche ■AMS.

La courbe, à partir du point où la tendance àl’asymptotisme se manifeste, tourne nécessairement sa convexité vers son asymptote ; en effet, par définition, une droite ne peut couper la branche de courbe à laquelle elle est asymptote.

86. D’une manière générale, si la tangente à une branche de courbe infinie tend vers une limite déterminée à mesure que le point de contact s’éloigne sur celte branche, celle limite

est une asymptote. Car la tangente se rapprochant indéflniment de cette droite limite, il en est de même de son point de contact ou de la courbe elle-même.

' A ce point de vue, une asymptote étant une tangente dont le point de contact s’est transporté à l’infini, nous identifierons l’équation de la droite x~ mx-t- n avec l’équation de la tangente à la courbe F {x,y) = o, c’est-à-dire que nous poserons ( 73)

m = — ^ et n—x-+-:^x.

Dans ces formules, nous supposerons infinies les coordonnées X et J du point de contact, et les valeurs correspondantes que nous trouverons alors pour les constantes m et n, nous feront connaître les asymptotes cherchées.

Exemples. — i" Comme on ne doit poursuivre la recherche des asymptotes que pour des courbes illimitées, nous prendrons pour exemple l’hyperbole (67). L’équation de cette courbe est

Nous aurons donc ici

OT=— - et n = r ^ ;

ai y (P y a' y

En vertu de l’équation de la courbe, on peut écrire , bx , h

a <^x' — a’ Si l’on fait maintenant il vient

et n —

m = ± - et /I = O.

L’hyperbole a donc deux asymptotes qui passent par l’origine et font avec l’axe des x des angles supplémentaires : ces asymptotes ont pour équation

2" Considérons encore la parabole (68) qui a pour équation

v’ = a px.

88 GÉOMÉTRIE AHALYTIQXJE.

Nous aurons, dans ce cas

V ux r

rn = - et n = r —

en vertu de l’équation de la courbe.

Si l’on fait x =x— vient

m = O et « =00 .

Les tangentes à la parabole tendent donc à devenir parallèles à l’axe des x à mesure qu’on s’éloigne sur la courbe, mais le point où elles coupent l’axe des j se transporte en même temps à l’infini, c’est-à-dire que la parabole n’a pas d’asymptotes,

87. On peut, en conservant d’ailleurs le même point de départ, suivre une méthode analytiquement plus commode pour déterminer les asymptotes rectilignes, seules utiles à connaître.

Une sécante dont les deux points d’intersection se transportent en même temps à l’infini, est la même chose qu’une tangente dont le point de contact s’éloigne à l’infini. D’après cette remarque, cherchons les abscisses des points d’intersection de la droite = mx-h n avec la courbe F (ar,j) = o. L’équation résultante F (x, ma: -+-«) = o devra présenter deux racines infinies si la droite considérée est asymptote. Or, dans le cas où le premier membre de l’équation F (ar, j) = o est entier et rationnel, on parviendra par l’élimination déjà une équation de la forme

Ai,ar***-t— A , -i— A,a*”*~^— i— , . . — A„i x — t— \fa~~ o.

Pour qu’une pareille équation ait deux racines infinies, il faut que les coefficients A, et A, des deux termes du degré le

plus élevé s’annulent. En effet, si l’on remplace x par

l’existence de deux racines nulles pour l’équation transformée en Z correspondra à l’existence de deux racines infinies pour l’équation en x. Ainsi on posera

si ces équations fournissent pour m et n des valeurs convenables, la courbe donnée aura des asymptotes, et ces asymptotes seront déterminées.

Exemples. — i” Reprenons l’équation de l’hyperbole «’j’ — b-x^ — — n’h'‘ ;

si nous y remplaçons j par mx -+- n, il viendra

— b')x^-{-2a'mnx-{- . . . = o.

Égalons à zéro les coefficienls des deux premiers termes de l’équation résultante, nous aurons

rt’m’ — b‘=zo, 7.a^mn—o, *

m = ±- et /t = o.

Nous retrouvons ainsi le même résultat que par la première méthode. Si l’on partait de l’équation de l’ellipse, on trouverait pour m être des valeurs imaginaires.

2° Soit l’équation de la parabole

)^=7.pX.

Si nous y remplaçons y~ par mx + re, il vient

En posant /re’=o et mn — p=o, on voit que s’il y avait des asymptotes, elles seraient parallèles à l’axe des x ; mais qu’elles n’existent pas, parce que la valeur ni = o entraîne la valeur re = oo .

88. Remarques. — I. 11 résulte de ce qui précède ou de la seconde définition adoptée, qu’une courbe algébrique du degré a ne peut être coupée par une de ses asymptotes en plus de « — 2 points.

II. Le degré de A, par rapport à m ne peut dépasser le degré le plus élevé de l’équation F(x,7) = o par rapport à j. Donc, si ce degré est p, la courbe admettra au plus p asymptotes obliques à l’axe desj.

89. 11 peut quelquefois être utile de chercher les asymptotes en partant du principe suivant.

De l’équation

y = mx -t- re

on déduit

m = et n — y — mx.

Si l’asymptote existe, elle correspondra aux valeurs qu’on trouvera' pour rei être en supposant à la fois jet a: infinies. On aura alors

et H = lim(j — mx)

pour les valeurs indiquées.

GÉOMÉTRIE AMALYTIQUE.

Le rapport^ et, ensuite, la différence / — /nx s’exprimeront

d’ailleurs à l’aide de l’équation de la courbe, parce que la différence entre l’ordonnée de la courbe et l’ordonnée de la droite doit disparaître pour x=x> . La différence entre l’ordonnée de la courbe et l’ordonnée de l’asymptote est, en effet, proportionnelle à la perpendiculaire abaissée d’un point de la courbe sur l’asymptote.

Exemple. — Reprenons encore l’équation de l’hyperbole ou — 6’x’ = — d'h'.

On en déduit

La limite du rapport pour x = oo est ± - • On a donc

On a d’ailleurs

c’est-à-dire

— a’ip- X.

y — mx ~ ±- [v^x’ — a} — x] = ±

La limite de cette différence est o pour x = oo . On a donc n — o.

90. Jusqu’à présent, les méthodes expliquées ne peuvent permettre de déterminer que les asymptotes non parallèles à l’axe des y, parce que l’équation employée ^'= /nx -h « ne peut pas représenter une parallèle à cet axe.

Pour obtenir les asymptotes parallèles à l'axe des y, il suffit de remarquer que, lorsqu’elles existent, certaines valeurs finies de X doivent correspondre sur la courbe à des ordonnées infinies [fig. 43)- Ainsi, on cherchera les valeurs finies de x qui, substituées dans l’équation de la courbe, rendent / = oo .

Cette équation F(x,j) = o peut s’écrire

en ordonnant son premier membre par rapport aux puissances décroissantes de^’. Si l’on divise alors ses deux membres par y^ et si l’on fait ensuite y=v> , il reste pour déterminer les valeurs correspondantes de x l’équation

CÉOMÉTIIIE ANALYTIQUE. 9I

Les racines de l’équalion en x obtenue en égalant à zéro le coefficient de la plus haute puissance de^ dans l’équation de la courbe ordonnée suivant les puissances décroissantes de cette variable, correspondront donc aux asymptotes parallèles à l’axe des y. Seulement, dans chaque cas particulier, on devra s’assurer que la valeur de y, aux environs de la valeur de x qui semble donner une pareille asymptote, est bien réelle et indéfiniment croissante en valeur absolue.

Exemple. — Prenons l’équation de la cissolde

— ou (</ — x)jr’ — x^=o.

On obtiendra les asymptotes parallèles à l’axe des j en posant d — x = o, d’où x = d.

Aux environs de cette valeur, la valeur de l’ordonnée est réelle et indéfiniment croissante ou décroissante. Par suite, comme on l’a déjà vu (70), les deux branches de la cissoïde ont pour asymptote commune la tangente BL menée à l’extrémité du diamètre fixe AB.

91. Remarques. — I. La même méthode, appliquée en prenant X au lieu de y pour lettre ordonnatrice, donnerait les asymptotes parallèles à l’axe des x.

L’équation A^-i-Bxj-i- D^--f-Ex-)-F = o représente une courbe ayant pour asymptote parallèle à l’axe des abscisses la droite Bj 4- E = o. Si l’on a E= o, cette asymptote est l’axe des j; lui-même.

De même l’équation Bjr/4-Cx’-(-Dj"-|-Ea7-t-F = oreprésente une courbe ayant pour asymptote parallèle à l’axe des ordonnées la droite Bj?-i-D = o. Si l’on a D = o, cette asymptote est l’axe des lui-même.

L’équation B -i- F = o représente une courbe ayant les deux axes pour asymptotes.

On voit que s’il existe une asymptote parallèle à l’un des axes, le terme du degré le plus élevé par rapport à la variable correspondante manque nécessairement dans l’équation.

IL Si i’équation proposée F (x,y) = o est du degré «, l’équation ,/l(.r) = o sera du degré a — (3. Il ne peut donc y avoir plus de « — (3 asymptotes parallèles à l’axe des y. Nous avons vu (88 ) qu’il ne pouvait y en avoir plus de (3 obliques à cet axe. Par conséquent, une courbe du degré « ne peut avoir plus de a asymptotes.

GÉOMÉTRIE AKALYTIQOE.