CHAPITRE III

THÉORIE DES CKISTRES.

92. Le centre d’une courbe est un point qui divise toute corde de cette courbe qui y passe en deux parties égales.

Supposons que la courbe considérée ait un centre et que l’origine des coordonnées soit placée en ce point. Toute corde passant par l’origine y sera divisée en deux parties égales, de sorte que les extrémités de cette corde auront des coordonnées égales et de signes contraires (3). L’équation de la courbe restera donc la même lorsqu’on remplacera d’une manière générale x par — X et J par — y.

Réciproquement, si l’équation d’une courbe n’est pas modifiée par la substitution de — ar et de — j à la place de x et de y’, l’origine des coordonnées est un centre de la courbe. Car si par le point M, dont les coordonnées sont x et j, on mène une droite passant par l’origine, et si on la prolonge jusqu’au point M' de manière que l’origine soit au milieu de la longueur MM', les coordonnées du point M' seront précisément — xet — y; de sorte que, le point M' appartenant à la courbe, toute corde de cette courbe passant par l’origine y sera divisée en deux parties égales.

Ainsi, que l’équation d’une courbe soit algébrique ou transcendante, l’origine des coordonnées sera un centre lorsqu’on pourra, sans cfianger l’équation, remplacer x et y par — x et —y.

93, Lorsqu une courbe a plus d’un centre, elle en a une in- Jinité.

Pour démontrer celte proposition, il suffira de prouver que l’existence de deux centres entraîne celle d’un troisième centre.

Soit [Jig. 44) M un point quelconque d’une courbe qui a deux centres O et O'. Si l’on mène la droite MOM' et si l’on prend OM'=MO, le pointM' appartiendra à la courbe. Si l’on mène de même les droites MO' N, M'O'N', et si l’on prend O'N = MO', les points N et N' appartiendront aussi à la courbe. Les diagonales du quadrilatère MM'NN' se coupant mutuellement en parties égales, ce quadrilatère sera un parallélograname, et le point O étant le milieu de MM', la droite 00' parallèle à MN' viendra couper la droite NN' en son milieu 0". Le point M étant quelconque sur la courbe, la droite NN' est aussi une corde quelconque de celte courbe, et comme on aura toujours

GéOMÉTIUE ANALYTIQUE. pS

O'O" = 00', le point 0" qui est lixe est un centre de cette courbe.

Donc, quand une courbe a plus d’un centre, elle en a une infinité, tous situes sur une même droite qu’ils divisent en parties égales.

De plus, si l’on joint le point M' à ces différents centres, tous les points de la courbe appartenant aux cordes ainsi déterminées, seront distribués sur une même droite MN'N" parallèle à la droite des centres : ce qui montre que dans les courbes qui ont une infinité de centres, toute parallèle menée à la droite des centres à une distance convenable a une infinité de points d’intersection avec la courbe.

11 résulte immédiatement de cette dernière remarque qu’wne courbe algébrique ne peut avoir qu'un seul centre; car, si elle est du degré ni, elle ne peut être coupée par une droite en plus de ni points (33).

94. Soit en particulier une équation algébrique irréductible. Si la courbe qu’elle représente a pour centre l’origine des coordonnées, tous ses termes seront de même parité, c’est-àdire tous de degré pair ou tous de degré impair, de manière à ne pas changer de signes ou à en changer tous à la fois, lorsqu’on substituera — x et — à a? et à r*

En effet, remplaçons a: et par — x cl — j dans le terme général Px"'-i')i’. Si m — pci p sont tous deux pairs ou impairs, c’est-à-dire si m est pair, le terme considéré ne changera pas de signe; si, au contraire m — pelpsonl l’un pair et l’autre impair, c’est-à-dire si m est impair, le changement de signe aura nécessairement lieu.

Remarque. — Dans le cas où l’équation est de degré impair, elle ne doit donc pas contenir de terme indépendant des variables; et alors, s’il y a un centre, il est situé sur la courbe elle-même.

95. La méthode pour déterminer le centre d’une courbe algébrique, découle directement de ce qui précède.

En effet, si le centre supposé n’est pas à l’origine, on le reconnaît à ce que les termes de l’équation proposée sont de parité différente. En désignant alors par a et b les coordonnées du centre cherché, on effectue une transformation d’axes indéterminée, en les transportant parallèlement à eux-mêmes au point [a, b); ce qui se fera en remplaçant dans l’équation a: et / par X -+- a et J -I- è.

Si l’équation transformée est de degré pair, on égale à zéro les coefficients de tous ses termes de degré impair; si elle est de degré impair, on égale à zéro les coefficients de tous ses

g4 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

termes de degré pair. On obtient ainsi des équations qui permettent de déterminer les coordonnées a cl 6 du centre, lorsqu’il existe.

Remarque. — S’il s’agit d’une courbe transcendante, après avoir effectué la transformation indiquée, on change dans l’équation X el r en — x et en — y. Les deux équations obtenues doivent rester identiques, lorsque la nouvelle origine est un centre; et si leur identification est possible, elle conduit aux coordonnées a et 6 du centre cherché.