CHAPITRE IV

THÉORIE DES DIAMÈTÉES

96. On entend par diamètre d’une courbe le lieu des milieux d’un système de cordes menées dans cette courbe parallèlement à une direction donnée.

Pour trouver l’équation générale des diamètres d’une courbe dont l’équation est donnée, voici théoriquement la marche qu’on peut suivre.

Soit F (x, ^-) l’équation proposée, soit m le coefficient angulaire du système de cordes parallèles donné. Désignons par X et Y les coordonnées du point milieu d’une quelconque d’entre elles. Transportons en ce point l’origine des coordonnées. L’équation de la corde considérée deviendra /wx, et celle de la courbe sera F (x-i- X, j> -t- Y) = o. Pour avoir les abscisses des points d’intersection de la corde et de la courbe, il suffira de remplacer dans l’équation de la courbe r par mx. L’équation résultante F ( x -+- X, mx -|- Y ) = o devra alors, puisque le milieu de la corde esta l’origine, présenter deux racines égales et de signes contraires. On divisera donc son premier membre par le binôme x’ — /P qui correspond aux deux racines -l- h et — A. On continuera la division jusqu’au reste du premier degré en x, on posera les conditions nécessaires pour la nullité de ce reste, et l’on obtiendra deux équations entre lesquelles il suffira d’éliminerrindéterminée A pour avoir l’équation générale des diamètres de la courbe F(x, j) = o. L’indétermination de A correspond précisément à la variation nécessaire de l'origine (X, Y), choisie au milieu d’une corde quelconque.

Remarque. — Lorsqu’on appliquera celle méthode à l’équ.alion générale du second degré à deux variables, le calcul se

simplifiera. En effet, l’équation résultante en x étant nécessairement du second degré, il suffira d’y égaler à zéro le coelficienl du terme du premier degré pour exprimer la condition analytique imposée, c’est-à-dire pour obtenir l’équation des diamètres.

97. On appelle axe d’une courbe tout diamètre rectiligne perpendiculaire aux cordes qu’il divise en deux parties égales ou qui lui sont conjuguées.

Les points où une courbe est rencontrée par un de ses axes sont appelés sommets, lorsque la tangente correspondante est perpendiculaire à l’axe.

Dans l’ellipse et dans l’hyperbole (66, 67) dont les équations sont

l’origine des coordonnées est un centre, les axes coordonnés sont des axes de la courbe, les points où ils la coupent sont des sommets.

98. Les diamètres rectilignes étant seuls réellement utiles • à connaître, il est indispensable d’indiquer de quelle manière on peut directement en trouver l’équation sans être forcé de calculer l’équation générale du n” 96, qui les renferme nécessairement.

11 suffit de remarquer que, si l’on choisit un diamètre rectiligne pour axe des x, en prenant l’axe des y parallèle aux cordes conjuguées de ce diamètre, à chaque valeur de x devront correspondre des valeurs de régales et de signes contraires, c’est-à-dire que l’équation de la courbe considérée ne devra alors contenir que des puissances paires de l’ordonnée.

On effectuera donc une transformation d’axes indéterminée à l’aide des formules (26)

,r = x' cos a -+- r' cos [3, y=b + x' sina sin(3,

qui supposent les axes primitifs rectangulaires et la nouvelle origine, placée au point (o, à) où le diamètre cherché coupe l’ancien axe des j (simplification qui ne modifie en rien la question). On cherchera alors àfaire disparaître les puissances impaires de J, en profitant de l’indétermination des constantes b, a et p. Quand on obtiendra ainsi pour ces constantes des valeurs réelles et finies, chaque groupe de valeurs fera connaître un diamètre rectiligne de la courbe proposée' et la direction de ses cordes conjuguées.

y6 GÉOMÉTRIE AJNALYTIQGE.

Si l’on veut trouver les axes par cette méthode, il faudra passer d’axes rectangulaires à axes rectangulaires, c’est-à-dire employer les formules (2C)

x — x' cosx — j'sino!, j-= i -t- x'sin a -H j' cos a.

qui ne contiennent plus, comme cela doit être, que deux constantes arbitraires b et a.

99. Remarque. — Lorsque l’équation d’une courbe ne change pas quand on y permute x et j, cette courbe a pour axe la bissectrice de l’angle joa: des coordonnées positives.

En effet, soient (fig. 45) les deux points M et M', pour lesquels on a

MP = OP' et OP = M'P'.

Le quadrilatère OQKP' sera un losange, et comme on aura MR = RM', la bissectrice ORX de 1 ’angle yox sera perpendiculaire sur le milieu de la corde MM'.

On prouverait de la même manière que, lorsque l’équation d’une courbe n’est pas altérée par le changement de x en — y et de / en — x, cette courbe a pour axe la bissectrice de l’angle roa:', supplément de l’angle joar.

Nota. — Nous parlerons du nombre de points nécessaires pour la détermination d’une courbe d’espèce donnée et de la théorie générale de la similitude au point de vue analytique, en nous occupant spécialement des courbes du second degré.