CHAPITRE V

EXEMPLES DE DISCUSSION GÉNÉRALE D'ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES, DANS LE CAS DES COORDONNÉES RECTILIGNES.

100. I. Lieu (les poiitls dont le produit des distances à deux points fixes demeure constant.

Si l’on désigne par u et r les distances d’un point du lieu aux deux points fixes, son équation naturelle est immédiatement

up = m^.

Le lieu est évidemment symétrique par rapport à la droite qui joint les deux points fixes et par rapport à la perpendiculaire élevée au milieu de celte droite : ce qui règle immédiatement le choix des axes rectilignes. L’équation naturelle montre que le lieu est fermé.

OéOMÉTttlE AHALTTIQUE. 97

Si l’on représente par -i.d la distance AB des deux points fixes et si M est un point du lieu {jig. 4fi)i on aura ^

k’=j’ + (x — (•/)’ et + (■/)’, ■*

d’où, pour l’équation du lieu en coordonnées rectangulaires,

[r’-t-(x-r/)>l (x4-rf)’J = 7«‘.

c’est-à-dire

Cette équation ne contenant que des puissances paires des variables, prouve que l’origine des coordonnées est un centre de la courbe. On en déduit (en écartant le signe — du second radical qui correspond à des valeurs de toujours imaginaires)

Reprenons l’équation (i) : si l’on y forme la quantité é’— 4«c, on trouve

quantité toujours plus grande que zéro. Ainsi les racines de l’équation (i), si l’on y regarde 7-’ comme inconnue, sont toujours réelles. Leur somme — a(x’-l-'rf’) est toujours négative. On aura donc deux racines négatives |)our ou quatre imaginaires pour r, si le produit (x’ — r/’)’— de ces racines est positif.

Pour que admette une valeur positive ou y deux valeurs réelles, il faut donc que la condition (x* — rPy — »î‘ <0 soit satisfaite.

Elle revient à ‘ \ '

c’est-à-dire . .

ou "bien à c'est-à-dire

X < -f- -4- ou x> — /r/’-+- /«’; .r’> iV’— nr.

x'P’ \J <1‘ — /«’ ou X < — \/iP — nd .

On ne peut donc donner à x de valeurs positives qu’entre -L/cf’ — nP et 4- de valeurs négatives qu’entre — \j(P — nP et — \/<P->rm‘. Pour ces valeurs limites données à x, on a d’ailleurs /= o.

Ainsi, la courbe est bien limitée dans le sens des abscisses, et par suite dans le sens des ordonnées.

Nous distinguerons les trois cas suivants :

I” /«>rf.

Dans ce cas, les limites iw’ et m‘ sont imaginaires.

Par suite, la courbe ne coupe l’axe des x qu’en deux points déterminés'* par les valeurs x = ± Si ces^ points sont C et C', la courbe

sera tout entière comprise entre les parallèles menées par ces points à l’axe des/' (fig. 47)- Ouanl aux valeurs maximums et minimums de /, on a