III
On a, par hypothèse, m^d; donc les valeurs .r=o, y= de. //«’ — c/’ déterminent sur l'axe des y deux points D et D' appartenant à la courbe.
Quant aux valeurs ,r= ± — y y= ± — elles n’existent que
si l'on a
4 d' — ni' > O,
c’est-à-dire
in < d \/% .
Supposons d’abord m compris entre d et d^ . y' deviendra nulle pour deux valeurs do x (en no considérant que le quart de courbe situé dans l’angle De plus, y' restera positive tant que x demeurera comprise
entre la valeur zéro et la valeur
= OP, pour devenir négative
au delà. L’ordonnée de la courbe augmentera donc du point D (minimum) au point E (maximum), pour diminuer ensuite jusqu’au point C (82, 83).
La courbe, dans le sens des ordonnées, sera donc renfermée entre les deux tangentes parallèles EE' et E"E'”. Aux points C et G', on a » à cause de o. Les points C et C', D et D', sont donc, des sommets, ce qui exige que la courbe tourne sa concavité comme l'indique la figure. Une fois qu’on a construit un quart de la courbe, on l’obtient tout entière en vertu de sa symétrie par rapport aux axes, par deux rabattements successifs autour de l’axe des y et de l’axe des x.
Si m, toujours > d, est aussi > ne peut devenir nulle que pour
x — Q et demeure constamment négative, du point D au point C. L’ordonnée diminue donc depuis le point D (maximum) jusqu’au point C (limite), et la courbe a la forme indiquée par la figure {fis- 48). On lui donne alors le nom à'ovalc ou d’ellipse de Cns.dni.
GÉOMÉrniE ANALYTIQUE.
m <id.
Dans CO cas, les limites x = + ^tP — m^ et x = — y/d‘‘ — m' sont aussi réelles. Le lieu coupe donc l’axe des abscisses en quatre points C, C', H, H' {fig. 4g), et il se trouve tout entier entre les parallèles menées à l’axe des fy d’une part par les points C et H, de l’autre par les points C' et H'. Ainsi , entre les parallèles qui correspondent aux points H et H', il n’existe aucun point de la courbe.
Considérons sa partie positive, y part de zéro au point H, pour redevenir zéro au point C ; il passe donc par un maximum. Consultons la dérivée
, .r (y'4^/’.r’+ m' — ar/’)
On ne peut pas faire ici x = o. La condition r'= o entraînera donc seulement la condition
^ ^d‘‘ x‘ ni' — O,
d’où
-t- yJ &d* — 1«‘ m *
X = . — et r = — > :
' id -xd
telles seront les coordonnées du point E (maximum). Les points C, C', H, H', pour lesquels on a y=o ou 7'= oo , sont d’ailleurs des sommets de la courbe, qui se sépare en deux parties fermées et a la forme indiquée par la figure.
Ce cas sert de liaison aux deux autres. Les deux limites x = + y/d'—nd et x = — /<■/’— nP se réduisant à zéro, les deux ovales du second cas, après s’être rapprochées à mesure que m et d tendaient l’un vers l’autre, finissent par se rejoindre à l’origine, comme l’indique la disparition du terme indépendant dans l’équation (ij. Les points C et C' restent des sommets de la courbe. Les quatre points maximums et minimums E, E', E”, E™ ont toujours pour abscisse et pour ordonnée (en valeur absolue)
1^4 d' — »/' nd
'-J et —
•>.d xd
c’est-à-dire, en vertu de la condition m — d,
Pour x= O, on a j = o, de sorte que y’ se présente à l'origine sous la forme Pour lever cette difficulté, reprenons l’équation (i) qui est devenue
/‘-l- a(x’-(-rf’)y’-t-x' — arf’x’ = O.
En divisant ses deux membres par .r’, on peut l’écrire
Pour X = o, on obtient alors pour le rapport ^ une valeur égale à — 00
lOO GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
et une valeur égale à i. Puisque nous ne considérons que des valeurs
réelles de x et de j, nous n’admettrons que la valeur de égale à i . Nous aurons donc (75), pour x= o,
lim - ou y' = ± I ,
Ainsi, l’origine est un point double, et les deux tangentes en ce point sont les bissectrices des angles des axes. D’ailleurs, au delà de l’origine et jusqu’au point maximum E, /' est évidemment inférieure à i et positive, pour devenir ensuite négative jusqu’au point C. La courbe a donc la forme indiquée par la figure (^g. 5o) : dans le cas considéré de m = d, c’est une lemni.scate de Bernmdli. On voit que l’origine est en même temps un ' point double et un point d’inflexion pour les deux branches qui viennent
s’y croiser.
101. II. Conchntdc (de Nicomède). — On suppose un point fixe A et une droite fixe BB' [fig. 5i). Pnr le point A, on mène une droite <pielconque ABM. Sur cette droite, à partir du point B où elle rencontre BB', on prend BM = BN = une longueur constante d, et l’on demande le lieu des points ainsi déterminés.
Le lieu est évidemment symétrique par rapport à la perpendiculaire AO abaissée du point A sur la droite fixe BB’. .4 mesure que la droite variable -4BM s’éloigne de AO, la distance MH du point M à la droite BB' diminue. On a en effet
MH = f/sinABO;
et comme l’angle ABO tend vers zéro, il en est de même de MH : la droite BB' est donc une asymptote du lieu cherché qui s’étend indéfiniment audessus et au-dessous de la droite AO.
Cette première discussion nous porte à prendre la droite AO pour axe des X et la droite BB' pour axe des y. L’équation du lieu ne contiendra alors que des puis-sances paires de y et, de plus, le terme du degré le plus élevé on y manquera nécessairement (91 ).
Le lieu peut être regardé comme résultant de l’intersection de la droite ABM et d’un -cercle décrit du point B comme centre avec d pour rayon. Posons
OA
L’équation de la droite ABM sera
L’ordonnée à l’origino do cette droite étant -f- mp, l’équation du cercle correspondant sera
(t) [y~mp)'‘y-.x'‘-d‘‘.
Pour avoir l’équation du lieu, il suffira donc d’éliminer m entre les équations (i) et (‘i); ce qui donne
d’où l’on déduit
GÉOMÉTRIE AHALTTIQOE.
lOI
OU
On doit donc avoir rf’ — .r’>o, c’est-à-dire que la valeur de x doit être comprise entre +ei et — ri. Si l’on prend OC = OC'=^/, la courbe sera donc tout entière comprise entre les deux parallèles menées par ces points à l’axe des^'.
A mesure que x s’approche de o, / s’approche de ± oo : l’axe des j est donc bien asymptote aux deux parties de la courbe.
On a / = O pour x = ±d et pour x = — p; et il faut alors distinguer les trois cas suivants :
Dans ce cas, qui est celui de la 5i, le point A, c’est-à-dire le point (o, — p) se trouve complètement isolé de la courbe : c’est un point conjugué (8A).
L’équation du lieu donne
xr'+{x+p){'ix’+px — d^)
Pour x=±d eX y = O, on a
Les points C et C' sont donc des sommets. D’après cela, comme une courbe finit toujours par être convexe vers son asymptote, la conchoïde présentera sur chaque branche deux points d’inflexion symétriques par ra'pport à l'axe des x.
P <ri [fg. 5a).
Si p est plus petit que d, les valeurs de x comprises entre p et d correspondent à des valeurs réelles de y. y partant de zéro au point A pour revenir à zéro au point C', passe par un maximum, si l’on considère seulement la partie du lieu supérieure à l’axe des x. Or la valeur de 7' peut s’écrire, en multipliant par x ses deux termes,
, -c’ r ’-l- .r (x-{-p)[-i.x‘+px — cP)
Remplaçons x'y* par sa valeur tirée de l’équation de la courbe. Il viendra en simplifiant
{x+p)(x^+;jrP)
On aura donc 7'=o pour x^+pcP= o. Le maximum de y entre les points A et C' correspondra donc à
x= ÿ — pd ‘ .
Pour x=±rl, on a toujours
Les points C et restent donc dos sommets de la courbe.
- : ce
Pour x=—p, comme on a / = o, se présente sous la forme
qui correspond en général à un point multiple (84).
Transportons l’origine au point A, c’est-à-dire remplaçons x par x— /<, L’équation du lieu deviendra
(x — />)’/’4-[(x— — rf’]x’= O.
On en déduit
— (x — py x’ (x — pY
La limite de point A (7S)
ce rapport pour x = o est
— — • On aura donc au
valeur bien facile à construire.
Le point A est donc un point double. La branche de gauche de la conchoïde n’a plus alors d’inflexions. Les inflexions du premier cas viennent, dans le second, se réunir au point double.
3° p = d[Jig. 53).
Dans ce cas, l’intervalle entre les points A et C' disparaît. L’origine étant supposée au point A, on a en ce point
Les deux tangentes au point double A du second cas se confondent donc dans le troisième cas avec l’axe des x. Le point A est donc alors un point de rebroussement de première espèce (84). Le point C reste d’ailleurs un sommet de la courbe qui a, dans tous les cas, BB' pour asymptote.
102. 111. Folium de Descurtes. — Cette courbe est représentée par l’équation
r’ — 3^7xr4-x’ = O,
où n est une quantité réelle quelconque. Nous supposerons pour plus de simplicité «=1, et nous écrirons
tes axes étant d’ailleurs supposés rectangulaires.
Le lieu de l’équation proposée passe évidemment par l’origine. On voit que X et / ne peuvent prendre ensemble des valeurs négatives, tous les termes de l’équation (i) devenant alors de même signe; ce qui montre (|uc la courbe cherchée ne peut avoir aucun point dans l’angle opposé à l’angle rOx [Jig. 54).
L’équation (i) est symétrique en x et en j, c’cst4-dire qu’elle ne Change ^ pas lorsqu’on y remplace x par r et y par x. On en conclut immédiatement que la bissectrice de l’angle jOx est un axe du folium (99).
Pour calculer plus facilement les coordonnées des points de la courbe.
CÉOMÉTiUE ANALYTIQUE. Iu3
on {)eul poser en désignant par i une variable auxiliaire. Il
vient alors
d’où, en divisant par x% c’est-à-dire
et
En faisant varier / do — « à -|- oo , on aura toutes les valeurs correspondantes de X et de y. Ce procédé revient évidemment à chercber les points d’intersection du lieu à construire avec une droite variable menée par l’origine et ayant pour équation y= tx : il est souvent applicable , surtout lorsque l’équation proposée n’est résoluble par rapport à aucune des variables y et x.
Dans le cas considéré , nous avons reconnu que la courbe avait pour axe la bissectrice de l’angle rOx. Il est donc préférable d’abaisser l’équation (i) au second degré relativement à y, en effectuant une transformation d’axes qui consistera à faire tourner les axes primitifs de 4^° autour de l’origine.
Pour passer d’axes rectangulaires à axes rectangulaires, les formules de transformation sont (26)
x = x'cosa— j'sina,
/= x'sin«-|-y'co8a.
On a ici a = 45", c’est-à-dire
sina = cos a =:
il viendra par suite
(x'-jr'
L’équation de la courbe rapportée aux nouveaux axes sera donc, en supprimant les accents,
On en déduit
3 — xy^a 3(xv/a-l-i)
On voit immédiatement qu’on ne peut donner à x de valeurs positives 3 3
que depuis 0 jusqu’à -p- Pour x-= —1 on a o, ce qui détermine /a \J%
le. point A 54).
On déduit de l’équation (a)
(4) 3y/â..r = +3xjxv^a-a)
io4
CÉOMÉTBIE ANALYTIQUE.
Au point A, à cause de r = o, on a /'= » : ce point est donc bien un sommet de la courbe.
A l’origine, la valeur de se présente sous la forme -• L’équation (3)
donne alors
Pour X = O, il vient
lim — =/'= ± I .
Il en résulte que les axes primitifs sont tangents à la courbe à l’origine qui est un point double.
On no peut donner à x, d’après l’équation (3 ), que des valeurs négatives
comprises entre o et — - — — • A mesure que x tend vers cette
dernière valeur, y tend vers ± œ .
La courbe est donc formée d’une feuith; AMOM' et de deux branches infinies OR et OS qui ont pour asymptote la droite menée parallèlement
au nouvel axe des j à la distance OD = — • L’existence de l’asymptote
est d’ailleurs indiquée par la valeur inGnie que prend 7' pour x =
J partant de zéro à l’origine pour redevenir zéro au point A, passe par un maximum (en considérant la partie de la feuille située au-dessus de Taxe de la courbe).
D’après l’équation { 4), devient nulle pour
c’est-à-dire, en remplaçant par sa valeur tirée de l’équation (2) et en simplifiant, pour
==C ou x = + \/--
Le signe -4- du radical convient seul d’après ce qui précède. La valeur correspondante de l’ordonnée est d’ailleurs ^
103. IV. Sinusoïde [fg. 55). — Soit l’équation j= sin^, où x représente la longueur d’un arc dans la circonférence ayant pour rayon l’unité. La courbe correspondante manifeste la loi de variation du sinus [Trig., 7) : elle se compose donc d’une inBnité de parties identiques, situées alterijativement au-dessus et au-dessous de l’axe des x. Les points où la courbe coupe l’axe des x sont distants d’une demi-circonférence, puisque pour X = 4'7r, /■ étant un entier quelconque positif ou négatif, on a j = o.
L’origine est un centre, puisqu’on peut changer y en —y et x en — x sans modiBer l’équation. Et il est facile de voir que tous les points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses sont des centres.
GÉOMÉTBIE ANALYTIQUE. iu5
En effet (96), changeons dans l'équation donnée y en v + A et x en x-\-a. Il viendra
(i) y + b = 6w(x + fi).
Dans l’équation obtenue, changeons r et x en — / et en — x; nous aurons
ou
— -I- i =z sin ( — x-t-rt)
X — b - — sin(x — a).
Identifions les équations (i) et [i). Il faudra qu’on ait
et
b = — b ou b = O, sinxcoso= — sinxcosa ou sinx=o.
La dernière condition entraîne celle-ci :
X = Ait,
Les différents points O, , O, O', O’,. . . , sont donc des centres de la sinusoïde.
On a
j' = cosx.
Par conséquent, x variant de o à w, y' diminue de i à — i ; .f variant de à ■11T, y' augmente de — i à i , et ainsi de suite. Les arcs do courbe tournent donc alternativement leur convexité et leur concavité vers les y positifs. On a
y"= — sinx.
Par conséquent, r’= o pour x= A-n. Donc tous les points où la courbe rencontre l’axe des x sont en même temps des centres et des points d’inflexion. y" passe du négatif au positif ou réciproquement, lorsque la courbe traverse les points ... , O', O",
D’ailleurs O pour x= ‘ perpendiculaires élevées au
milieu des intervalles 00', O'O",. . correspondent donc alternativement
à des points maximums et minimums. Par exemple, pour x = ^j on a
j"<o, et pour x = - 7T, on a r">o.
Enfin, pour x= An, on ay'= + i ou j'= — i, suivant que A est pair ou impair, c’est-à-dire que les tangentes aux points d’inflexion font alternativement des angles de 45° et de i35° avec l’axe des x.
104. V. Tangentoïde [fig. 56). — Soit encore l’équation y= tang.r. La courbe corresi>ondante représente la loi de variation de la tangente ( Trig., 9) ; elle se compose donc d’une infinité de parties identiques. Ixs points où la courbe coupe l’axe des x sont distants d'une demi-circonférence, puis(]ue pour x=:4 Tr, A étant un entier quelconque positif ou négatif, on a .v=.:o. L’origine est un centre, puisqu'on peut changer x en — X cl ,v en — ,1 sans modifier l’équation. Il en est de même de tous les
io6
GÉOMÉTRIE ANÀI.YTIQTJE.
points d'intersection de la courbe avec l'axe des x, puisque l’équation donnée conserve la môme propriété lorsqu’on y remplace x par /-tt + x.
TT - / 1 ^ “i“ I
Pour - T et en général pour x= — - — tt, on a j = ±oc . Par
conséquent , les parallèles menées à l’axe des j par les points situés à égale distance de deux centres consécutifs, sont des asymptotes de la
courbe. Dn peu avant une valeur x = — - — ti, l’ordonnée jr est positive
et très-grande; un peu après, cette ordonnée est négative et très-grande en valeur absolue.
On a (Compl. d’Alg., 138)
Il en résulte
cos'x
acosxsinx cos'x “
cos'x
On di y —<a pour x =
aX-f-i
TT, ce qui correspond aux asymptotes con-
sidérées comme limites des tangentes. On a y"=o pour x = /7t. D’ailleurs y" est négative un peu avant une valeur x= kv, positive un peu après. Donc les centres de la courbe sont en môme temps des points d’inOexion ; aux points d’inflexion, on a d’ailleurs
