VI. Soit l’équation y = c^ [fig

Pour x = O, on a y= 00 . L’axe des j est donc asymptote à la courbe. A mesure que x augmente, en restant positive, la valeur de y diminue en restant positive et en tendant indéfiniment vers la valeur i qu’elle ii’atteint que pour x= 00 . On a donc une première branche de courbe, ayant à la fois pour asymptotes l’axe des y et la parallèle menée à l’axe des X à la distance i : cette branche tourne nécessairement sa concavité vers les J positifs, comme l’indique d’ailleurs la valeur de

qui est constamment croissante.

Faisons maintenant varier x de o à — ». Pour cela , changeons x on — X dans l’équation donnée, et faisons ensuite varier x de o à -+-.00 . Nous aurons

Pour X = o, nous aurons y= o. A mesure que x augmente, la valeur de / augmente en tendant vers la valeur 1 qu’elle n’atteint que pour .r = oc . On obtient donc une seconde branche de courbe partant de l’origine, s’étendant entre l’axe des abscisses et la parallèle menée à cet axe è la distance OA = i, et ayant celle parallèle pour asymptote. On voit que l’origine est un point d’arrcl (8i),

Changeons dans la valeur de r', x en — x. Il viendra

Si l’on fait x = o, on trouve

Nous lèverons l’indétermination en appliquant la règle connue [Compl. d’Alg., 156). En prenant la dérivée de chaque terme, il vient

En faisant x = o, on trouve encore

En redoublant la dérivation, on obtient enOn

L pX fX

ce qui donne / '= o pour x = o. L’axe des x est donc tangent à la courbe à l’origine ou au point d’arrét. •

Par suite, la seconde branche devant finir par tourner sa convexité vers son asymptote, présente nécessairement un point d’inflexion, Cherchons la valeur de j-". Il viendra

Changeons x on — x. Noua aurons

11 en résulte /”= o pour c’estrà-dire pour ,r =: -• On a alors

Ainsi, prenant OP = ^ et PM = pt le point M sera le point d'inflexion cherché.

io8

GÉOMÉTRIE ÀNALYTIQOE.

QUESTIONS PROPOSÉES