Posons

Y = -J- ^ bx -f- c.

Considérant le trinôme du second degré placé sous le radical, nous partagerons ce premier cas en trois autres.

i“ b' — 4 ^ racines x' et x" du trinôme placé sous

le radical sont réelles 'et inégales.

Nous pourrons écrire ( en supposant x'"^ x" ) •

Y =z-^-^sja(x — x'){x — x") — -^i^ y/ — a[x' — x){x — x").

a étant négatif par hypothèse, — a sera une quantité positive. Pour que Y conserve une valeur réelle, il faudra nécessairement que la valeur de x reste comprise entre x' et x".

Bjt I J)

Construisons donc {/ig. 58) le diamètre y= ^

Prenons sur l’axe des x, OP' =x', OP" = x". La courbe sera tout entière comprise entre les parallèles menées à l’axe des J par les points P' et P". D’ailleurs, pour x = x' et x = x", on a Y = O. Donc, les points d’intersection Q' et Q" de ces parallèles avec le diamètre sont à la courbe. Les valeurs de X étant limitées, il en sera de même des valeurs de y.

Entre ses deux valeurs égales à zéro, Y doit passer par un maximum absolu. La somme des deux facteurs x' — x et X — x” est égale à la constante x' — x" ; par suite, leur produit sera maximum lorsqu’ils seront égaux entre eux et à la moitié de leur somme {-dlg. élém., 219), c’est-à-dire pour

X = On a alors

On prendra donc le point P à égale distance des points P' et

P" de manière à avoir OP = — par le point P, on mènera

une parallèle à l’axe des j; à partir de l’intersection G de cette parallèle avec le diamètre Q'Q", on portera au-dessus et au-des-

sous de ce diamètre les longueurs GR' = GR"='—^-^^ — \j — a:

les points R' et R" seront les points de la courbe les plus éloignés du diamètre considéré.

GÉOMÉTllIE ANALYTIQUE.

Si l’on donne à x des valeurs qui diffèrent de OP, en plus ou en moins, d’une même quantité a, on obtiendra évidemment pour Y des valeurs égales. Prenons PN' = PN". A x= ON' et à x = ON", correspondent des valeurs M'H' et M"H" de Y qui sont égales. Les cordes M'M" et M"M‘’ sont donc parallèles au diamètre Q'Q". De plus, comme' GH' = GH", elles sont divisées en deux parties égales par la droite R' R" qui est un second diamètre du lieu.

Les diamètres Q'Q", R' R", tels que chacun d’eux divise en parties égales les cordes parallèles à l’autre, sont dits conju- ' gués.

On voit immédiatement que, si l’on prenait pour axes ^ ces deux diamètres conjugués, l’équation de la courbe ne serait pas modifiée par le changement de x en — x et de 7 en — y, puisqu’on passerait ainsi, par exemple, du point M' au point M". Le point G est donc un centre (92).

Les droites menées par les points R' et R" parallèlement au diamètre Q'Q" n’ont qu’un point commun avec la courbe qui est nécessairement convexe ( 33 ) : ce sont donc des tangentes.

Il en est de même des parallèles P' Q', P" Q", au diamètre R' R". Le lieu obtenu est donc une courbe fermée, inscrite dans le parallélogramme déterminé par ces quatre tangentes; on lui donne le nom à’ellipse.

Reprenons l’équation (3)

Rx-f- D + • ^ 2 A 2 A

Les racines du trinôme placé sous le radical étant réelles et inégales, ce trinôme pourra être mis sous la (orme {y4{g. élém., 194)

Dans le cas considéré, l’équation (i) elle-même est donc de la forme

( 2 Ay-\- Ba: -H D )’ — a ^ -4- a/f’ = o ;

son premier membre est la somme des carrés d’une fonction du premier degré en^ et en x et d’une fonction du premier degré en X, diminuée d’un certain nombre positif.

2" ô’ — ^ac<C^o, Les racines x' et x" du trinôme placé sous le radical sont imaginaires. Dans ce cas, quelle que soit la valeur donnée à x, le trinôme placé sous le radical prend le signe de son premier lerme(^lg. élém., 195). Y et, par suite, y restent donc constamment imaginaires. L’équation ( 1 ) repré-

GÉOMÉTUIE ANALYTIQUE. 1 I

sente une ellipse imaginaire, c’esl-à-dire rien. Le irinùine ax’-t- bx ->r c pouvant alors s’écrire

l’équation ( i ) est de la forme

{2 Aj-4- Bar -t- D)’ — a — a/r’ = o ;

son premier membre est la iom/ne efe trois carrai, dont l’un est indépendant des variables.

3® 6’ — ^ac = O. Les racines x' et x" du trinôme placé sous le radical sont égales. On a alors

Y est donc imaginaire, sauf pour la valeur a: = a;'. L’équation ( I ) n’est donc satisfaite que pour x = x' et

Bx'-+-D

c’est-à-dire qu’elle représente un seul point. L’ellipse se réduit à son centre. Le trinôme ax' + bx+ c pouvant alofs

s’écrire a (i) est de la forme

(2Aj-+-B;T-HD)’ — =0;

son premier membre est la somme des carrés d’une fonction du premier degré en j et en x et d’une fonction du premier degré en a: seulement. ^ '

Genre hyperbole {B’— 4AC>o).