Nous partagerons de même ce second cas en trois autres
1° à’ — ^ac'^o. Les racines x' et x" du trinôme placé sous le radical sont réelles et inégales. On a
a étant positif, pour que Y conserve une valeur réelle, il faut
que les valeurs de x ne soient pas comprises entre les racines
, «T, ... ..... Bx-t-D
a: et A . Par suite, SI 1 on construit le diametrej’= r— .
Il4 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
si l’on prend OP' = x', OP" = x", si par les points P' et P" [fig. 5g ), on mène des parallèles à l’axe des^, entre ces parallèles, il n’y aura aucun point de la courbe. Pour x' et x = x", on a Y = o. Les points où le diamètre rencontre les parallèles indiquées sont donc à la courbe.
D’ailleurs on peut faire varier x depuis x' jusqu’à -4- oo et depuis x" jusqu’à — oo . x pouvant croître d’une manière illimitée, il en est de même de Y. Le lieu se compose donc de deux parties séparées, formées chacune de deux branches infinies.
Pour des valeurs de x qui diffèrent de x' en plus ou de x" en moins d’une même quantité a, Y prend évidemment les mêmes valeurs. Il en résulte que la parallèle menée à l’axe desypar le point P, milieu de l’intervalle P'P", eslle diamètre conjugué du diamètre Q' Q", et que le point G de rencontre des deux diamètres est le centre de la courbe. On lui donne le nom t\’ hyperbole.
Des deux diamètres conjugués Q'Q" et GP ou R' R", l’un rencontre la courbe, l’autre ne la rencontre pas.
Reprenons l’expression
Bx-i-D , I , — ; — r
r= — T — ± — 7- V bxy- c-
Dans le cas considéré, on peut remplacer ax'-\-bx -h c par
l’équation (1) peut donc se mettre sous la forme
(aAy-l- Bx -H D)’ — -4-aA» = o;
son premier membre est la différence des carias d’une fonction du premier degré en y et en x, et d’une fonction du premier degré en x, augmentée d’ vm nombre positif.
2" è’ — ^ac <C[o. Les racines x' et x" du trinôme placé sous le radical sont imaginaires. On peut alors écrire
X peut recevoir toutes les valeurs possibles, puisque toutes les valeurs du trinôme sont de même signe que a. Mais on ne peut plus, comme dans le cas précédent, faire prendre à y toutes les valeurs possibles. Y est susceptible d’un minimum
Digilizcd by
GÉOMÉÏBIE ANALYTIQUE. I I 5
différent de zéro. Ce minimum correspond à.r= — eiesi
égal à ^ \ja- Prenons [Jig. 6o) OP = — et menons par le point P une parallèle à l’axe des y. A partir du point de ren-
contre G de cette parallèle avec le diamètre r =
ou Q'Q", portons sur elle, au-dessus et au-dessous du diamètre, la longueur Si, par les points R' et R" ainsi ob-
tenus, on mène des parallèles au diamètre Q' Q", il n’y aura entre ces parallèles aucun point de la courbe. D’ailleurs, x pouvant croître au delà de toute limite dans un sens ou dans l’autre, il en sera de même de Y et de y. La courbe se composera donc de deux parties séparées, formées chacune de deux branches inflnies. C’est encore une hyperbole ayant le point G pour centre et les diamètres Q' Q" et R' R" pour diamètres conjugués. Seulement, c’est le diamètre R' R" qui coupe la courbe et c’est le diamètre Q' Q" qui ne la rencontre pas.
Les deux cas que nous venons de considérer sont en réalité identiques. Il n’y a ici qu’un changement de position. On peut le vérifier en résolvant dans le second cas l’équation par rapport à la variable x. Dans ce second cas, le premier membre de l’équation (i) est la différence des carrés A’ une fonction du premier degré en y et en a; et d’une fonction du premier degré en X, diminuée d’un nombre positif.
3® 6’ — ^ac=o. Les racines x' et x" du trinôme placé sous le radical sont égales. Ce trinôme étant un carré parfait, on peut écrire
Hx -hY) ,x — x' /-
Le lieu se compose alors des deux droites Bx-hD
Rar-I-D x — x' , —
1 1 — yû-
Ces deux droites se coupent sur le diamètre y — —
puisque pour l’abscisse x — x' les trois droites ont la même ordonnée r = — '
Jl6 GÉOMÉTIUE APiALVTIQUK.
Dans ce cas, I cqualion (i) peut se mettre sous la forme (aA^'+B^ + D)’ — a[x — :r')’ = o; son premier membre est la différence de deux carrés.
Genre parabole ( B’ — 4 AC = o ) .
109. Nous subdiviserons aussi ce dernier cas en trois autres. On a alors
Bar-l- D , I
i*6>o. Posons On pourra écrire
\ z=z — fbï^Z=-^),
Pour que Y conserve une valeur réelle, il faut qu’on ait xf>x'. On peut donner à x toutes les valeurs depuis x' jusqu’à -i- oo . Y peut donc croître d’une manière illimitée, ainsi que y\
La courbe rencontre son diamètre y= rr'
[fis- point Q , qui a pour abscisse x—x'. Si l’on
prend OP = ar' et si l'on mène PQ parallèle à l’axe des^-, la courbe n’a aucun point à gauche de cette parallèle ; mais elle s’étend sur sa droite d’une manière illimitée en formant deux branches infinies à partir du point Q : c’est une parabole.
9.“ b <C.o. Pour que Y conserve une valeur réelle, il faut qu’on ait aussi
X — x' <io.
c'est-à-dire qu’on ne peut donner à x que des valeurs plus petites que x'. On peut d’ailleurs faire varier x depuis sd jusqu’à — 00 . On a une parabole qui s’étend du côté des x négatives {fig.&ï), au lieu de s’étendre du côté des a; positives.
Dans les deux cas considérés, l’équation (i) peut s’écrire
Bx-I-D)’ — b{x — x') = o.
Son premier membre est la différence ou la somme du carré d’une fonction du premier degré en^et en x et de la première puissance d’une fonction du premier degré en x.
3“ h = O. On a
Bx
—H — ——i ve.
Si c esl > O, le lieu se compose de deux droites parallèles à
... ' Bx + D . • . 1 J. 1
la droite 7-= — et menees a égalé distance de cette
droite.
Si c est O, ces deux droites deviennent imaginaires et l’équation ne représente rien.
Enfin, si c = o, le lieu se réduit à la seule droite
Bjt -f- I)
Dans ce dernier cas, l’équation (1) peut se mettre sous la forme
( 2 Aj* -t- Bx -H D )’ — e =r O ;
si c esl positif ou négatif, son premier membre esl la différence ou la somme du carré d’une fonction du premier degré en J et en x et d’un nombre positif; si c est nul, son premier membre se réduit au carré d'une fonction du premier degré en y et en x.
