Des diamètres. — Appliquons à l’équation générale

Aj’-t-Bxj-f-Cx» + I)/4-Ej;-i-F = o

la méthode exposée au n® 96. Si nous remplaçons dans l’équation proposée j et x par y -|- Y et x -f- X, les coefficients de y et rfe a: deviendront, d’après une remarque précédente (111),

2AY-(-BX-+-D et 2CX-t-BY-t-E.

Par suite, lorsqu’on viendra remplacer y par mx pour avoir les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la corde y=mx, le coefficient du terme en x dans l’équation résultante sera

(2AY-I-BX-+-D) m-t-2CX-l-BY-H-E,

c'est-à-dire qu’on aura, pour équation générale des diamètres des courbes du second ordre (96, Rem. ),

( 2 AY -1- BX 4- 1) ) /n -h 2CX-I- BY -H E = O

ou, plus simplement,

(1) (2 Aj 4- Bjt-i- 1)) m -h- 2C2: -h Bj-f-E = O.

On l’obtient, en multipliant par le coefficient angulaire m qui

correspond au système de cordes arbitraire considéré la dérivée partielle du premier membre de l’équation par rapport à^-, en ajoutant à ce produit la dérivée partielle du premier membre par rapport à x, puis en égalant cette somme à zéro.

113. L’équation obtenue prouve que tous les diamètres des courbes du second ordre sont des lignes droites.

Lorsqu une courbe a un centre, tous ses diamètres y passent : c’est là une conséquence immédiate des définitions adoptées. On peut la vérifier facilement pour les courbes du second degré; car les coordonnées et g du centre étant déterminées ( 111 ) par les équations

2Ag -i- B/?-l-I) = O et ^Cp -h Bq =o,

satisfont nécessairement à l’équation générale des diamètres (112), quel que soit m.

La réciproque est évidente : toute droite passant par le centre dune courbe du second degré est un diamètre de cette courbe. Soit, en effet, m' le coefficient angulaire de cette droite. L’expression générale du coefficient angulaire d’un diamètre est, en vertu de l’équation trouvée,

et l’on trouvera toujours pour m une valeur qui satisfasse à la condition d’identification

Bm -I- 2 C ,

2 Am -t-B

Pour la parabole, si dans l’expression générale du coefficient angulaire d’un diamètre, on introduit la condition

B’ — 4 AC =« en remplaçant 2C par — il vient

Bm-t-uC 2ABm-l-B’ B

2Am-|-B " 2A(2Am-hB) 2 A

Cette valeur constante prouve que tous les diamètres de la parabole sont parallèles.

114. Dans les courbes du second ordre, la tangente au point où, un diamètre rencontre la courbe, est parallèle aux cordes que ce diamètre divise en deux parties égales. En effet, de l’équation des diamètres, on déduit (73)

, . Br-f- 2C2: -i-E

2Aj-t-B2r4-D~“7/

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115. Désignons par mf le coefficient angulaire d’un diamètre quelconque, par m le coefficient angulaire du système de cordes, conjugué à ce diamètre. Nous aurons

Il en résulte

(3) 2 A/nm' + B ( /n-l-m') + aC = O.

Cette relation reste satisfaite si l’on y permute les coefficients met ni’, c’est-à-dire que si l’on considère le diamètre parallèle au système de cordes donné, les cordes qui lui sont conjuguées sont à leur tour parallèles au premier diamètre. En d’autres termes, les deux diamètres qui ont m et m' pour coefficients angulaires, divisent chacun en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre : on donne, comme nous l’avons vu ( 107) , à ces diamètres le nom de diamètres conjugués.

Dans la parabole, il n’y a pas de diamètres conjugués, puisque aucun système de cordes ne peut y être parallèle à la direction constante des diamètres.

116. Des axes. — Cherchons si les courbes du second degré admettent des axes (97) et, pour les trouver, posons la condition de perpendicularité entre un diamètre et ses cordes conjuguées, savoir (113)

On en déduit

(4) Bm’ — 2(A — C) m — B = o.

Cette équation en m admet, en général, deux racines réelles et inégales, puisque son dernier terme est négatif, ou puisque le produit de ces mêmes racines est égal à — i. Les courbes du second degré admettent donc, en général, deux axes perpendiculaires entre eux, c’est-à-dire conjugués.

On déduit de l’équation (4)

A — C±V'(A— C)’-hB’

Dans le cas de la parabole, on a

B’ — 4A^C = o ou —T = 'n“

La valeur de m devient

A — Cdb(A-i-C)

CÉOUÉTRIE ANALYTIQUE.

Les deux racines sont alors