B’— 4 AC = O

L’équation donnée représentera donc, en général, une parabole. On en déduit

Cx’-(- Ex F

La discussion revient alors à celle que nous avons présentée au n" 225 de l’Algèbre élémentaire.

Posons

Il viendra

V = ax’-t- bx -H c.

Si les racines x' et x" du second membre égalé à zéro sont réelles et inégales et si a est positif, y décroîtra depuis -|-<»

IlS GÉOMÉTRIE AKALYTtQEE.

jusqu’à zéro, quand on fera croître x depuis — oo jusqu’à la plus petite racine x" . Au delà, deviendra négatif et passera

par un minimum correspondant a æ: = — ^ — • x croissant de-

puis — ^ — jusqu a x , y croîtra depuis le ftimimum —

jusqu’à zéro, x croissant depuis x' jusqu’à +oo , j croîtra depuis zéro jusqu’à -t-oo . C’est ce qu’on voit sans peine en mettant l’équation proposée sous l’une des deux formes suivantes :

k' représente l’expression D’ailleurs, pour des va-

leurs de X qui diffèrent de

ou de d une meme

2 2rt

quantité a en plus ou en moins, y passe par les mêmes valeurs. Par suite, si l’on a {Jig. 64)

OP"=x", OP' = x',

et si l’on détermine le point P, milieu de P' P", la parallèle PQ menée par le point P à l’axe des y sera un diamètre de la parabole.

Si les racines du trinôme «x’-h ia? -H c égalé à zéro sont réelles et égales, la parabole se trouvera simplement remontée vers les y positifs, de manière à être tangente à l’axe des X.

Enfin, si ces mêmes racines sont imaginaires, la parabole, tout entière au-dessus de l’axe des x, ne rencontre plus cet

axe et présente un minimum positif - — — ; c est ce que montre la figure.

Si a était négatif, les paraboles obtenues tourneraient leur concavité vers les y négatifs, au lieu de la tourner vers les y positifs.

En résumé, lorsqu’on a A = o et B = o, l’équation du second degré représente en général une parabole dont les diamètres sont parallèles à l’axe des y et dont la direction dépend

du signe de n = — g*

Même remarque par rapport à l’axe des x, lorsqu’on a C = o et B = o; la direction dépend alors du signe de —

GÉOMÉTIUE A.NAL\TIQIE. I 29

Il est inutile de considérer le cas de A = o, B = o, D = o. L’équation ne contenant plus alors que la variable x et étant du second degré par rapport à cette variable, représente deux droites parallèles à l’axe des r. ou une seule, ou rien, suivant la nature de ses racines.