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280 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
330. Remarquons que le terme général du développement obtenu, qui est le dernier écrit ci-dessus, revient à
En se reportant à la formule du binôme (255), on peut donc le mettre sous la forme symbolique
[F,(*,j)A + Fy(*f.r)*]-f
en convenant que les exposants qui doivent alors affecter successivement F'x(x,y) et F'y(x,y) indiqueront seulement le nombre d'accents de la lettre F et l'exposant de son indice. D'ailleurs, dans chaque terme du développement, les accents des deux lettres F devront s'ajouter, de manière que chacun d'eux contiendra F^(x,y)9 et l'on réunira en môme temps, pour F(n), les indices x et y dont la somme des exposants sera toujours égale à n.
331. D'après la formule (1) (329), l'accroissement pris par le polynôme entier F(x, y), lorsque les variables x et y reçoivent d'une manière indépendante les accroissements simultanés h et k> a pour expression
fF(x4-/j,j4-/0-F(^,7)
ou, symboliquement (330) et en abrégeant l'écriture,
332. La démonstration donnée pour le cas de deux variables x et y peut s'étendre sans difficulté au cas d'un plus grand nombre de variables.
On trouvera, par exemple, pour un polynôme entier F(x, y, z)9 fonction des trois variables indépendantes x, y-y z, ces trois variables recevant respectivement les accroissements A, k, l, et en abrégeant l'écriture dans le second membre (327),
= rJ + K. -^-4-f;.
^7+rç
hk
hl
-HF^.a
kl
Le terme général du développement serait ici, sous forme symbolique (330, 303),
333. Les développements précédents (32fc, 329, 332) constituent ce qu'on appelle la série de Taylor appliquée aux polynômes entiers, bien que Taylor n'ait donné sa célèbre formule que pour une suite illimitée.
L'utilité de ces développements, que nous généraliserons en les appliquant à une fonction quelconque, apparaîtra complètement lorsque nous étudierons la Théorie des dérivées et des différentielles (Livre V).
