Bo-rï-h Bj.rv 4- B, v« -h C0.r 4- C, >■ 4- l)u

On en déduit successivement (32i, 327)

F'JC=3\0xi-h aA,.ry 4- A* y5 4- 2B0x-+- B, V4- C0, F^=. A,.rs4- aAjj;v-f 3A3 v24- Brr -4- 2B1 y 4- C,,

Fxt = 6 \0.r 4- 2 A,y 4- 2B0, rrir=aA1.r + 2Asv+ B,, Fj« = 2 As x -+- 6 A3 y 4- 2B, ;

F?*— 6A0, F.rî,r=aAl, Fït)-t=2Af FJ> — 6AS.

Toutes les dérivées partielles du troisième ordre étant des constantes, les dérivées partielles d'ordre supérieur sont toutes nulles.

On peut remarquer que Ton a

F;, rn= 2 A, x 4- 2 AjJ 4-- B,= Kt>, f;,,8= 2 A»= FIV, F;,fJ.= 2 A2= FT.,..

11 en résulte que, pour le cas considéré, si les indices de F sont composés des mômes lettres affectées des mêmes exposants et que Ton prenne ces lettres dans un ordre quelconque, les dérivées partielles correspondantes demeurent identiques, c'est-à-dire que l'ordre suivant lequel on forme les dérivées partielles successives est indifférent. Nous reviendrons plus tard sur ce point important (voir Livre V).

329. Reprenons maintenant le polynôme entier quelconque F(^,j) et donnons respectivement aux deux variables x et y (327) les accroissements h et k. Il s'agit de trouver le développement de F(x 4- h9 y 4- k), pour en déduire ensuite l'accroissement correspondant

subi par le polynôme.

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