MÉTHODE DES LIMITES

Préliminaires.

334. Nous ferons précéder l'étude des séries de la démonstration de théorèmes sur les limites, qui nous seront fréquemment utiles par la suite, et qui, bien qu'à peu près évidents, nous permettront néanmoins d'insister sur quelques remarques importantes.

Nous avons déjà donné, sur ce sujet (Géom., 215 à 220), les indications qui nous étaient alors indispensables. Nous avons rappelé, dans la première Partie de ce Volume (111), la définition des limites, et nous avons ensuite prouvé (112) qu'une quantité variable ne peut avoir qu'une seule limite.

On énonce souvent ce principe, qu'on pourrait regarder comme un axiome, sous cette autre forme plus directement applicable :

Si deux quantités variables sont constamment égales entre elles dans tous les états de grandeur qu'elles affectent, et si l'une tend vers une certaine limite, Vautre tend nécessairement vers une limite égale.

335. II est bien entendu que, lorsqu'on pose, entre une quantité fixe À et une quantité variable X, la relation

limX^A,

qui signifie que la différence entre A et X doit devenir et rester moindre que toute quantité désignée, la variable X peut demeurer toujours au-dessus ou toujours au-dessous de A, ou bien se trouver tantôt supérieure et tantôt inférieure à A.

La seule condition imposée, c'est que, lorsque la différence entre A et X est devenue moindre que la quantité désignée, il faut qu'elle reste telle pour les variations ultérieures de X. Si cette différence, après être devenue plus petite que la quantité désignée, devenait plus grande et oscillait pour ainsi dire autour de cette quantité, en s'en rapprochant et en s'en éloignant successivement, A ne serait plus la limite de X dans le sens que nous attachons à ce mot.

336. Lorsqu'une quantité variable a pour limite zéro, on dit qu'elle devient infiniment petite, et on la nomme un infiniment petit.

Un infiniment petit n'est pas une quantité déterminée, c'est une quantité essentiellement variable tendant vers zéro.

La différence entre une quantité variable et sa limite, tendant vers zéro, est toujours un infiniment petit.

337. Lorsqu'une quantité variable croît indéfiniment (ou sans limite), de manière à pouvoir devenir et rester supérieure à une quantité désignée aussi grande qu'on voudra le supposer, cette quantité variable est dite infiniment grande ou, pour abréger, infinie, et on la représente souvent par le

symbole — ou 00 (Alg. élém., 115).

338. Ces termes à* infiniment petit et d'infiniment grand n'ont d'autre but que la rapidité du langage.

Il est indispensable, surtout, de ne pas se méprendre sur le sens du mot infini, qui signifie simplement l'absence de bornes quelconques, et qui, par cela même, exclut toute idée de comparaison, sous le rapport de la grandeur, entre plusieurs infinis.

Nous avons montré (Alg. élém., 206) que l'infini peut se présenter de deux manières : soit comme solution directe indiquant l'impossibilité du problème; soit comme solution auxiliaire admissible, lorsque la quantité principale dépend

ALGEBRE SUPÉRIEURE. Îe85

d'une autre quantité pouvant croître au delà de toute limite à mesure que cette quantité principale approche d'une certaine valeur fixe.