IV. Si, à partir d'un certain rang et n croissant indé

finiment, le rapport --£! tend vers une limite égale à V unité. un

la série est divergente lorsque ce rapport finit par rester constamment supérieur à sa limite; il y a doute, c'est-à-dire que la série peut être convergente ou divergente, lorsque ce rapport finit par rester constamment inférieur à sa limite.

Les théorèmes I, II, III, IV constituent, dans leur ensemble, l'une des propositions les plus utiles et les plus fréquemment employées pour l'étude des séries.

CAS OU LA SÉRIE EST ORDONNÉE SUIVANT LES PUISSANCES d'une VARIABLE.

376. La série considérée peut se trouver ordonnée suivant les puissances entières et croissantes d'une variable œ. La proposition précédente est encore applicable. Seulement, la variable x entre alors nécessairement dans l'expression du rapport dont on a à chercher la limite; et, par suite, la con-

vergence ou la divergence de la série dépend, en général, des valeurs spéciales attribuées à cette variable. Soit, par exemple, la série

A0 4- Ai x + A, x- H- A, x* -+- . . .

+ Afl.1^-1+Aflj»+Afl+1a:',+1-l-

On a, dans ce cas,

/ = iim îî-±l = Um A*x* = iim *2L x, un An-.ixn-1 An-i

c'est-à-dire, en désignant par X la limite du rapport -r— — quand

n croît indéfiniment,

/= Xo\

La série sera donc convergente pour "kx < i, ou tant qu'on aura x < =-; elle sera divergente pour X.a?> i, ow ta/i* ^a'o/i

aura *r > =- (373).

La série restera ainsi convergente pour toutes les valeurs

i . ii , . .

de x comprises entre -+- =- et — y; car une série, qui est convergente lorsque tous les termes sont positifs, Test encore lorsqu'on en prend un certain nombre négativement (367).

Il pourra y avoir doute, si Ton a \x—\ ou x = ± =-• Néan-

moins, si, à partir d'un certain rang, -r-^- reste toujours supé-

rieur à X, — — restera en même temps supérieur à >.# = i, et

la série sera divergente pour x =-t- r- (375).

La remarque que nous venons de faire, relativement aux séries ordonnées, subsiste aussi pour les théorèmes analogues aux précédents, que nous avons encore à démontrer.

Applications des théorèmes I, II, III, IV.

377. Nous nous proposons de vérifier, à l'aide de ces théorèmes, la convergence ou la divergence de quelques

3l2 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

séries. Nous les rapporterons toujours à la série type «/o -4- w, 4- w24- «3 -h. . .4- «„.! + «„+ */„+, -f- —

i° Soit la série

a -+- aa* -f- 3«3-+- 4«4-H- • .-H/ifl"-*- {n -+- i)an+i-h. . .,

où a est un nombre positif quelconque.

Elle est évidemment divergente pour « = iou pour a > i (362), et il ne peut y avoir de difficulté que pour a < i.

On a ici (373, 375)

/ = lim-^^ = hm^ r-rrr = lim " = lira "•

*/„ (n + i)an+l «+i i

n Pour /i = », il vient / = «.

Pour « < i, la série est donc convergente.

La règle que nous appliquons indique aussi qu'elle est divergente pour a > i et pour a = i, comme nous venons de le dire. Dans cette dernière hypothèse, il ne peut y avoir doute, parce que la

fraction étant toujours plus grande que i, le rapport -^ reste

constamment supérieur à sa limite i.

2° Soit la série

.2 2.3 3.4 ' * {n — l)'l /i(//4-l) (« + l)(rt + 2)

On a ici

M/t-H (/ï-H2)(/H-3) __rt-+-T n

Un ~" I ~" /ï -f- 3 ~~ 3

(/l-rl)(rt + 2) fl

dont la limite, pour n = 00, est 1.

Comme — ^r reste constamment inférieur à 1, il y a doute (375). Mais, en se servant du procédé général indiqué au n°359, on peut poser

«(« + !) n et, par suite, la série donnée deviendra

Elle a donc une somme égale à 1 et elle est convergente, comme nous l'avons déjà trouvé (358, 20).

3° Soit la série remarquable

iii i

il* 2l* 31* 4^- '** «t* (/i-*-i)l* " '

sur laquelle nous reviendrons plus loin, et où jjl représente un nombre positif quelconque.

Si l'on suppose p. = i, on retrouve la série harmonique (363, 364) qui est divergente.

Si Ton suppose [i < i , les dénominateurs des termes de la série devenant moindres que ceux des termes correspondants de la série harmonique, tandis que les numérateurs ne changent pas, les termes de la série surpassent ceux de la série harmonique et, par suite, pour p< i. on a encore une série divergente (370).

Notre recherche est ainsi bornée au cas de \i > i.

On a alors

Pour n = oo, ce rapport a évidemment i pour limite; mais, comme il demeure constamment inférieur à l'unité avant d'atteindre sa limite, nous restons dans le doute (375).

Nous allons opérer comme il suit, pour établir la convergence de la série.

En laissant de côté son premier terme i, nous allons grouper ses termes en en prenant deux, puis quatre, puis huit, puis seize, . . ., en doublant toujours indéfiniment.

En remarquant que le premier terme de chaque groupe est le plus grand, on pourra écrire les inégalités suivantes :

5 ~*" 3Ê < [2 2Î* = 'If^J '

S y- "*" Toi* " 7ïl* "^ Ï2t*

Nous supposons que la dernière inégalité posée correspond au p*°* groupe, de sorte que le dénominateur de la première fraction du

Tâf "^T^^T^^ [ 8i* ~ 8i*-» ~ 23((*-1U

premier membre y est bien (a/')!* et, le dénominateur de la dernière. (2/»+i— i)|i. De plus, le nombre des termes du premier membre est égal à (ip+1 -i-2P) + i, c'est-à-dire à ip+i— %p ou à *p.

En ajoutant membre à membre toutes les inégalités précédentes, on voit que, sauf le premier terme i, la somme des termes de la série est inférieure à la somme des termes de la progression par quotient

qui a pour raison -£zî> c'est-à-dire qui est décroissante et illimitée. La

somme des termes de la série ne peut donc pas croître indéfiniment, et elle est bien convergente (369) lorsque \i est > i.

4° Soit la série ordonnée

x x1 .r3 .r* xn xn+l

12 0 4 n il — l

11 est clair que la série est divergente pour x = 1 ou pour x>i. puisqu'on retrouve alors la série harmonique ou une série dont les termes sont plus grands que les termes correspondants de la série harmonique.

11 reste donc à considérer le cas de x< 1, en valeur absolue (376).

On a ici

un+i __ // -+- 2 n -*- 1 __ n

un X"--*-1 n -h 2 ' ~~ 2

La limite de ce rapport, pour n — x, est x, La série est donc convergente pour x < r en valeur absolue.

La série restera, par conséquent, convergente quand on fera varier

x depuis — 1 jusqu'à -m, en excluant -: 1. Nous verrons plus tard que.

pour x == — 1, elle est encore convergente.

Admettons que l'on conserve dans la série, supposée convergente, les

ir/ï-+-i . . w î. .,»., • ^ et Ton aura

c'est-à-dire ou (336)

uc/giigu acio

ir/I+l

puisque x est moindre que l'unité.

5° Soit, enfin, la série ordonnée

1.3. 5.7. ..(g/i-i)^ , 1.3.5.7. ..(an^O ^+1 H 2. 4. 6. 8... 2// 2.4.6.8. . .(2/i-f- 2)

On a, dans ce cas, évidemment,

Un 2/4 -H 2 I

Pour « = », la limite de ce rapport est x.

La série est donc divergente pour x > i et, convergente, pour x < 1 en valeur absolue, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et -4-1.

11 y a doute pour x = 1, parce que le rapport -^ reste alors con-

stamment inférieur à sa limite (375).

Pour lever ce doute, comparons la série proposée, en y faisant x = 1, à la série harmonique (363)

2 3 4 S Il II -î~ I

Pour passer du «uîmo terme de la série harmonique au suivant, il faut

multiplier - par •

Pour passer du ri*™ terme de la série proposée, qui est 1.3.5.7.. .(sm — 3)

au suivant, il faut le multiplier par —

Comme les deux premiers termes des deux séries sont les mêmes, il suffit alors de comparer les deux multiplicateurs. Or on a évidemment, quel que soit le rang n,

in — 1 ^ n 2// /i-t-i

puisque cette inégalité revient à n > 1 .

Ainsi, à partir du troisième terme, les termes de la série proposée sont constamment supérieurs aux termes correspondants de la série harmonique, et elle est, par suite, divergente (370).

3l6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Théorèmes Y, VI, VII, VIII.

378. V. Si, à partir d'un certain rang, l'expression «£ ou 'sfu~n est constamment moindre qu'un nombre fixe k plus petit que i, la série est convergente; elle est divergente si cette expression est constamment supérieure à un nombre fixe k plus grand que i .

En effet, on a, dans la première hypothèse,

\fu~n <k ou un <kn, v/ÛVm < k ou un+i < À-*-»-1,

Il en résulte que, à partir de un, les termes successifs de la série considérée sont inférieurs aux termes de la progression par quotient, décroissante et illimitée,

h kn : kn+x : kn+* : kn+3 :

Cette série est donc convergente (370).

La limite de l'erreur commise en s'arrêtant aux n premiers termes de la série est alors inférieure à

i — k Dans la seconde hypothèse, on a

nsjun > k

ou ou ou

Un >*",

n.+l>*»+lf

"*\/un+t > k

11 en résulte que, à partir de un, les termes successifs de la série considérée sont supérieurs aux termes de la progression par quotient, croissante et illimitée,

h kn : ka+l : **+« : *»+» : .

Cette série est donc divergente (370).