On applique, en général, ce théorème comme le pré
cèdent (373, 375); car, ordinairement, l'expression wj ou \/un tend vers une limite déterminée, lorsque n croît indéfiniment.
Nous nous bornerons donc à cet énoncé :
380. VI. Lorsque, dans une série, l'expression u% ou \/un tend vers une limite déterminée /, quand on fait croître n indéfiniment, la série est convergente ou divergente, suivant que cette limite l est plus petite ou plus grande que i. Lorsque cette limite l est égale à V unité , la série est divergente, si V expression ^u~^ reste, à partir d'un certain rang, constamment supérieure à V unité; lorsqu'elle reste constamment inférieure, il y a doute, et la série peut être convergente ou divergente.
381. Il est intéressant de montrer que la proposition que nous venons d'établir (378, 380) rentre, avec toutes ses conséquences, dans la proposition précédente (371, 372, 373,
375), c'est-à-dire que les deux expressions — — et y^ ont
précisément la même limite.
Soit, en effet, la série
u0-h «,+ «,+ tf3-b.. .H- M«-i-h ««+««+1 +
Admettons qu'elle donne
yltn^t±l^i et limv/^/j.
11 faut prouver qu'on a toujours /= l^
Pour cela, nous introduirons la variable x et nous considérerons la série auxiliaire
u0-h utx -+- U1Xt-\- U%Xz-*r. . .
-h w*-! xn-x -h unxn -h un+l x»-** -h
Il est clair que les deux limites / et lY se trouveront simplement multipliées par x (376).
Par conséquent, la série auxiliaire sera convergente, si
Ton a
Ix < i ou X< j]
et elle sera divergente, si Ton a
/,j,> i ou x> y
Or, si Ton n'avait pas y = -r ou /=: llf on pourrait attribuer
à # des valeurs comprises entre y et 7 et, pour ces valeurs
spéciales, la série auxiliaire serait à la fois divergente et convergente, ce qui est absurde.
On a donc nécessairement /= lt.
log^ 382. VII. Si, à partir d'un certain rang, le rapport - -
est constamment supérieur à un nombre fixe k plus grand que i , la série est convergente; si ce rapport est constamment inférieur à un nombre fixe k plus petit que i , la série est divergente.
Dans la première hypothèse, la condition
log~ "^ > k
logn
conduit successivement (Alg. élém., 353, 35i, 80, 350) aux relations
log — > klogn, log — > logtt*, — > n*. un un un
On peut donc écrire
un < znt ' "/i-hi < ,„ , fU » "«+1 <
Il en résulte que les termes de la série proposée sont, à partir de ull9 inférieurs aux termes de la série
nk (n -h i)* (n -f- 2)* ' '
qui est convergente puisque k est > i (377, 3°).
La série proposée est, par suite, elle-même convergenle (370).
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3l9
Dans la seconde hypothèse, la condition
log-
-ï— ^<k log/i
conduit successivement aux relations
log — <k\ogn, log — <\ognk, — < nk un un un
On peut donc écrire
/l* (rt-|-l)A (/l-h-2)*
Il en résulte que les termes de la série proposée sont, à partir de un9 supérieurs aux termes de la série
qui est divergente, puisque k est < i (377, 3°). La série proposée est, par suite, elle-même divergente (370).
