IX. Soient les deux séries
(i) M0-h Ux -+- M2 -h II, -+- . . . -h */*-! +«„+ «*-»-, "h . . . ,
(2) V0+vl + V1-T-v3-h...-+-vn-l-hvn+vn+l-+-.... 5/, à partir d'un certain rang, on a constamment
ta convergence de la première série entraîne la convergence de la seconde; si, à partir d'un certain rang, on a, au contraire, constamment
*'»-*- 1 ^ un+l .> — 9
la divergence de la première série entraîne la divergence de la seconde.
Soit, d'abord,
"*" ou *•+' < **.
Un "»4-i "n
On en déduit
un
vn+i<un^t^-
et, a fortiori, vfl^ < «„+, — ,
<ln
et, a fortiori, vn+2 < wn+, — >
La série (i), étant supposée convergente, le restera (366) quand on multipliera tous ses termes, à partir de un+u par le
facteur—5» Mais alors tous ses termes, à partir du terme //„+, — y deviendront plus grands, d'après les inégalités pré-
un
cédentes, que les termes correspondants de la série (2). La série (2) est donc, a fortiori, convergente (370).
Soit, maintenant,
Vn Ua Un+t Un'
On en déduit
*Vhi > «i»+i — - > un
vM > un+t ^^ et, a fortiori, va+1 > un+t ^ ,
un-hi Un
vn+% > un+z -^ et, a fortiori, vn+z > Mrt+8 -? ,
La série (i) étant supposée divergente, la somme de ses termes croît sans limite. Il en sera encore de même, et elle restera divergente, quand on multipliera tous ses termes, à
partir de un+lf par le facteur - n • Mais alors tous ces termes,
un
vn à partir du terme un+t — > deviendront plus petits, d'après
un
les inégalités précédentes, que les termes correspondants de la série(2). La série (2) est donc, a fortiori, divergente (370).
