X. Si les termes d'une série
(1) Ki+Mt+«j+ a4-h...-h w„,-}- a„+ wn+,-h. . .
vont constamment en décroissant à partir du premier, cette série est convergente ou divergente en même temps que la série
(2) ut-t-aua-h a* ua>-h a* ua% -+-... -H an~l ua*-x -+■ an uan -+-...,
quel que soit le nombre entier désigné par a, et les multiplicateurs et indices 1 , a, a1, a8, . . . , an9 . . . , formant une progression par quotient dont le premier terme est 1 et la raison a.
Supposons la série (1) convergente et considérons le terme général anua» de la série (2). Puisque les termes de la série (1) vont en décroissant, la somme des termes successifs de cette série
Uan-i+l 4- tfa»->4-î -+■ «a»-«t-3 H- ... H- Uan
De C. — Cours. III. 21
est plus grande que le dernier terme ua» répété autant de fois qu'il y a de termes dans la suite considérée. Or, de wtf— vt à ua», il y a un nombre de termes égal à
an - an~x— - an~l(a — i).
On peut donc poser, en multipliant de part et d'autre par a,
( a — i ) an uan < a ( a8-«+1 -f- aa»-i+, 4- tf a*-»+a -+-... 4- ua») ;
et, a fortiori, puisque a — i est un nombre entier,
an uan < a ( tta^i+1 -h wa»-i+2 -+- «a— '-t-s -+- . . . -f- aa- ).
En faisant successivement, dans celte inégalité, /i = 2, 3, ...,«,..., on a, en écrivant d'abord les deux identités
auar-aua9 a* ua* < a ( «a+l -+^ «a+t -h wa^3 —...+- «a.)f a3 wa« < al */«»+! -+• ua*+i -h wa»4.s H- . . • -t- tfa»), • >
Si l'on ajoute toutes ces relations membre à membre, il vient évidemment, puisque les indices se suivent sans interruption dans les seconds membres,
«! -f- aua -t- a* uay -h a3 Ma> i-... + aB ua» -h . . .
< a1H-a(aaH- Wa-Hi4- ^a-j-j-H «a+8-r-- • •-+- «a» "H- ••)•
Comme la série (i), dont tous les termes, en dehors de i/„ figurent dans le second membre de l'inégalité obtenue, à partir de ua> est supposée convergente, ce second membre ne peut pas croître indéfiniment. Il en est donc de même, a fortiori, de la série (2), qui se trouve reproduite tout entière dans le premier membre, et cette série (2) est convergente (369).
Supposons, au contraire, la série (1) divergente. Puisque les termes de cette série vont en décroissant, la somme
Ua* -h Wa»+1 -t- Uan+% -H . . . -f- ttam-i..,
est plus petite que le premier terme ua» répété autant de fois qu'il y a de termes dans la suite considérée. Or, de ua» à
«a"+,-i> il y a un nombre de termes égal à
an+1— i — a" + i=: an(a — i). On peut donc poser
(a — I ) an Uan > Uan 4- «a"+i "H «a*+i H- • • • +a"+,-i.
En faisant successivement, dans cette inégalité, n = i, 2, 3, ..., 7i, ..., on a
(a — i)a ua >ua -h «a+l -4-tfa-M ■4-...+ aa«-if
(a— l)<Z* Wa»> Ua* -f- Ma]+l "H tffl»+j 4-. • .-H «a'-i, (a — l)a3 Ua? > Ma3 -4- «/«'-M -+- "a'+J -+-...+ W««-i, >
(a — i)a*aa»> ua^-\- ua»+i-\- uan+t-\-. . .-h i*a«+i,,
En ajoutant toutes ces inégalités membre à membre, il vient évidemment, puisque les termes des seconds membres se suivent sans lacunes,
(a — i)(aua+ a* ua*-t- a* ua*-+- . . . 4- an «a« 4- . . .)
> aa 4- «a+l ■+" "a+l H" "a+3 "H ... 4- tf an+,-t ~+~
Comme la série (i), dont tous les termes, à partir de ua9 figurent dans le second membre de l'inégalité obtenue est divergente, ce second membre croît indéfiniment et sans limite. Il en est donc de même, o/orlfbri, du premier membre, et, comme a — i est un nombre fixe, le second facteur de ce premier membre, qui représente la série (2), moins le premier terme uu croît lui-même sans limite. La série (2) est donc divergente (369).
En supposant successivement la série (1) convergente et divergente, nous avons épuisé les cas possibles. Les réciproques sont donc vraies (Géom., 40). Ainsi, les séries (1) et (2) sont toujours, ensemble, convergentes ou divergentes.
Applications des théorèmes IX et X.
