r;> car, en décomposant ce terme en facteurs

XXX x .

on voit que, tant qu'ils sont plus grands que 1, leur produit va en augmentant à mesure qu'on en prend davantage, jusqu'à ce qu'on parvienne au maximum qui est le terme indiqué. Au delà et pour les termes suivants de la série, les

facteurs — : — > — '■ — > •••> étant moindres que l'unité, il y

aurait, au contraire, diminution du produit.

4-07. En faisant dans la série qu'on vient de considérer et dans les résultats obtenus x — 1, on retrouve la série e, ainsi que l'expression de l'erreur commise lorsqu'on s'arrête dans cette série à un certain terme (402).

Limite de f n — j quand m, entier et positif, croît indéfiniment.

408. Le nombre e représente aussi la limite d'une autre expression remarquable que nous allons étudier à son tour.

Désignons par m un nombre entier et positif, croissant indéfiniment, et cherchons la limite de l'expression

quand m tend vers l'infini.

La quantité 1 h tend alors vers 1; mais, en même temps,

le nombre des facteurs égaux an croit indéfiniment. On

ne peut donc pas appliquer le théorème connu (343) et dire que la limite du produit est égale au produit des limites des facteurs ou à l'unité; car ce théorème exige expressément que le nombre des facteurs considérés soit fini.

Nous devons donc chercher directement la limite de l'expression indiquée qui, pour /n = oo, se présente sous la forme indéterminée i*.