Nous établirons d'abord un lemme préliminaire

Si les quantités a, p, y, d, . . . sont des fractions proprement dites, on a la double inégalité

La première inégalité est évidente, le produit d'un nombre quelconque de fractions étant toujours inférieur à i (Arithm., 206).

Quant à la seconde inégalité, considérons d'abord les deux premiers facteurs. On a

(i-a)(i — (3)=i — a— (3-f-ap.

Si Ton néglige le terme positif «p dans le second membre de cette égalité, il en résulte

Multiplions les deux membres de celte inégalité par le troisième facteur i — y, ce qui est permis {Alg. élém., 215); nous aurons

c'est-à-dire

En négligeant dans le second membre de cette inégalité le terme positif (a -h P)y, on peut poser, a fortiori,

On continuera évidemment de la môme manière et Ton arrivera à un résultat analogue, quel que soit le nombre des facteurs.

4-10. Il résulte immédiatement du lemme qu'on vient de démontrer que le produit

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 347

a pour limite Vunité lorsque) l'entier n étant quelconque, mais constant et fini, V entier m croit indéfiniment. En effet, on a (409), pourvu que m surpasse n — i,

-(-iX-iX-^-O-^)

\m mm m J

c'est-à-dire (274.)

Le produit P est ainsi compris entre l'unité et une quantité qui a l'unité pour limite lorsqu'on fait croître m indéfiniment,

puisque l'expression — — est un infiniment petit (336).

On a donc bien, pour m = ocy

limP = i.

411. Revenons maintenant à l'expression proposée. Supposons d'abord m très grand, mais fini, et développons

d'après la formule du binôme (255). Nous aurons

m (m — 1 ) ( m — 2 ) . . .(m — ra-t-i) 1

Remarquons que, dans les différents termes du développement, à partir du deuxième, le numérateur contient toujours autant de facteurs qu'il y a d'unités dans l'exposant de la puissance de m, qui se trouve en dénominateur. On peut donc, dans chacun de ces termes, effectuer la division par la puissance correspondante de m en divisant chaque facteur du numérateur par m; si l'on remplace alors partout— par 1, en n'écrivant pas ce facteur en dehors des parenthèses, l'exprès-

348 ALGÈBBE SUPÉRIEURE.

sion considérée prend évidemment la forme

Supposons à présent que m augmente en restant fini.

Les fractions —>->—>■••> vont alors en diminuant, et il m m m

en résulte que les facteurs i > i , i > •••> qui

entrent dans les numérateurs des différents termes du développement, vont en croissant. Ces termes, tous positifs, augmentent donc eux-mêmes, et Ton peut dire, par conséquent,

que l'expression lu j croit en môme temps que m. Il

est facile de voir que c'est en s'approcbant d'une certaine limite fixe.

Observons, en premier lieu, que les numérateurs des termes du développement sont, à partir du troisième terme, tous moindres que i; car ils sont composés de facteurs moindres que l'unité (W9).

Cela posé, comparons l'expression (i) à la série e (400)

. , iii i

Les deux premiers termes sont les mêmes. Les autres termes ont les mêmes dénominateurs; mais les numérateurs des termes du développement sont inférieurs aux numérateurs des termes de la série, qui sont tous égaux à l'unité.

L'expression (i) est donc moindre que la série e, pour deux raisons : les termes de l'expression (i) sont moindres que les termes correspondants de la série, et la série est illimitée, tandis que l'expression (i) est composée d'un nombre fini de termes tant qu'on suppose m fini.

Si l'on fait croître m} l'expression (i) comprend plus de termes, et elle augmente ; mais le même raisonnement subsiste.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 34g

Par suite, l'expression (h — - ] > à mesure que m augmente, tend vers une certaine limite fixe, inférieure à e ou, tout au plus, égale à e.

Il reste à démontrer que cette limite est rigoureusement e.

En effet, considérons à la fois les n-\- 1 premiers termes du développement (i) et de la série (2), et supposons nfini, mais assez grand pour que la somme de la série diffère de la somme de ses (n -+- 1) premiers termes d'une quantité moindre que rinfiniment petit a (336). Comme on a trouvé (402)

il suffît, pour que cette condition soit remplie, qu'on ait

Si nous désignons par en+x la somme des n 4- 1 premiers termes de la série, nous aurons ainsi

D'autre part, à mesure que m croîtra, les numérateurs des termes du développement tendront tous vers l'unité autant qu'on voudra, d'après le lemme du n° 409, et auront tous pour limite l'unité lorsque m deviendra infini, puisque, par hypothèse, n reste constant et fini.

Les n -h ipremiers termes du développement tendront donc, à leur tour, respectivement vers les n -+- 1 premiers termes de la série et en approcheront autant qu'on voudra, pour m assez grand.

Si nous désignons par 2,,+, la somme des n -h 1 premiers termes du développement, et si nous remarquons que, 2ni-i étant composée d'un nombre fini de termes, la somme de ces termes a pour limite la somme de leurs limites (342), on pourra toujours donner à m une valeur assez grande pour que la différence entre en+x et !„+, soit aussi moindre que <x, de manière à avoir, comme nouvelle inégalité,

(4) en-\\ — 2«+i < et.

On aura donc, par addition des inégalités (3) et (4), e — 2n+i < 2 oc.

Or nous avons montré que la limite de ( n — J est moindre

que e9 et cette limite est nécessairement supérieure à 2„+|. On peut, par suite, écrire a fortiori

e — limfn ) <2«;

et, comme 2* est un infiniment petit, on a rigoureusement, pour m — 00,

,==vm(i+'ày

Conséquences.

412. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que m était entier et positif. Nous allons prouver que, lorsqu'il reçoit des valeurs fractionnaires ou négatives, tout en croissant indéû-

niment en valeur absolue, la limite de l'expression fin )

reste toujours la môme.

413. i° Cas de m fractionnaire. — Admettons que m, positif et croissant indéfiniment, puisse recevoir des valeurs fractionnaires.

Soient deux entiers consécutifs/? et/?-t-i, qui peuvent croître indéfiniment. S'ils comprennent toujours entre eux m, c'est-à-dire si Ton a constamment

m remplira la même condition. On aura alors évidemment la double inégalité

(-,-ir)'<(-ir<("?n

car, dans la première, on élève une quantité moindre à une puissance plus faible et, dans la seconde, on élève une quantité plus grande à une puissance supérieure. Or cette double inégalité peut se meure sous la forme

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 35 I

Lorsque le nombre fractionnaire m tend vers l'infini, il en est de môme des nombres entiers/? etp -+- 1 entre lesquels il

doit toujours tomber. Les deux puissances f i h 1 et

( n — j ont donc alors e pour limite commune (411); et, en même temps, l'unité est la limite commune du diviseur et du multiplicateur h Les deux expressions

extrêmes tendent donc vers la même limite e, de sorte que la quantité qu'elles comprennent remplit nécessairement la même condition, et qu'on peut poser, pour m = oo, dans l'hypothèse de m fractionnaire comme dans celle de m entier,

r = lim( i-h — )

klk. 2° Cas de m négatif. — Admettons que m puisse recevoir des valeurs négatives, tout en croissant indéfiniment en valeur absolue.

Nous poserons m=z — m', m' étant supposé positif. Pour m = — oo, il viendra m' = oo.

Nous aurons alors successivement {Alg. élém., 85)

En effectuant la division de m' par /n' — i, il viendra

\ m) \ m'—ij \ m'—ij \ m' — ij

Or, quand le nombre m', entier ou fractionnaire, mais positif,

tend vers l'infini, l'expression h rzr ) ten(* vers e

(Ml), et le multiplicateur i -\ j-— tend vers i. On a donc

encore, pour m ■= — oo,

e=lim(n- — ) •

415. En résumé, que m soit entier ou fractionnaire, positif ou négatif, si sa valeur absolue tend vers l'infini, la limite de

l'expression ( n J est toujours égale à e.

C'est là un résultat important, qu'on a souvent à appliquer sous la forme suivante.