Limite de (i^ j ou de (i j > quand m tend

vers l'infini.

Il peut arriver que, dans l'expression fin j > le dénominateur de la fraction comprise dans la parenthèse et l'exposant de la puissance soient de signes contraires. La limite de la nouvelle expression, pour m =oo, est alors l'inverse de

la limite précédente ou -• En effet, on a évidemment

c'est-à-dire (344, 415)

limi

De même,

on a

c'est-à-dire

lim

J\mz

Série e*.

418. Au lieu de l'expression (h — ) > considérons enfin l'expression

où m est supposé tendre vers l'infini et où la variable x a une valeur quelconque, mais déterminée.

En prenant d'abord m entier, positif et très grand, pour pouvoir appliquer la formule du binôme, on prouvera, en raisonnant comme on l'a fait au n° 411, puis aux n" 413 et 414, que l'expression proposée a toujours pour limite (415), au lieu de la série e, la série

x x1 je3 .rn

dont la série e n'est qu'un cas particulier et que nous avons étudiée au n° 404.

Cette série est convergente, comme on l'a vu, pour toutes les valeurs déterminées de x, quelles qu'elles soient.

On a d'ailleurs, identiquement (150),

On peut poser — = «, d'où — = -• L'expression précédente devient ainsi, en fonction de a,

Comme, par hypothèse, x a une valeur déterminée, a tend

vers zéro quand m tend vers l'infini, et réciproquement. A la

\ limite, pour m = oo ou a = o, l'expression (i-ha)* devient égale à e (416). On a donc finalement (345)

/ x\m limlM ) —e0";

De C. — Cours. III. a3

c'est-à-dire que la série précédente a pour somme é* et qu'on peut écrire

x x* xs xn

développement important que nous retrouverons plus loin.