DES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

Emploi de la méthode des coefficients indéterminés.

419. Celte méthode (25) a fait connaître un grand nombre de développements en séries. Son application est simple et rapide; mais il ne faut pas oublier la remarque déjà faite relativement à son mode d'emploi (30), et Ton doit vérifier avec soin l'exactitude des résultats auxquels elle conduit.

420. Proposons-nous, par exemple, de développer en série une certaine fonction de la variable x. Admettons que cette fonction F (a?) demeure réelle et varie d'une manière continue (Alg. élém.y 310), lorsqu'on fait croître la variable x elle-même d'une manière continue à partir de zéro, et cherchons la série qui peut légitimement représenter la fonction, en la supposant ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, entières et positives.

Nous poserons alors

(i) F(a7)=A4-Ba?-hCar5-*-D^-+-Ea?4H-...,

en désignant par A, B, C, . . ., les coefficients indéterminés, indépendants de xy dont il faut calculer la valeur dans la série du second membre.

En ayant alors recours à une propriété de la fonction ¥(x) facile à mettre en évidence, on cherchera à exprimer cette propriété à l'aide de la série supposée, de manière à parvenir à une égalité telle que

(2) P h- Qx -+- Ra?*-h S^3 -h Tx> -+-... = o.

Dans cette nouvelle égalité, P, Q, R, ... seront des quantités indépendantes de x, composées avec les coefficients

indéterminés À, B, C, Mais l'égalité (2) devant subsister,

quel que soit x9 est une véritable identité (16, 17) conduisant aux conditions

Ces équations (3) permettent, en général, de trouver tous les coefficients A, B, C, 11 faut, dans certains cas, quelques-uns de ces coefficients demeurant inconnus, remonter à l'équation (1) pour les découvrir en faisant usage de propriétés spéciales de la fonction donnée F (a?).

421. On ne peut d'ailleurs opérer comme on vient de l'indiquer, que si, dans ia relation (1), la série représente légitimement la fonction, au moins pour certaines valeurs de j, qui seront ordinairement les petites valeurs de la variable, inférieures à l'unité. Il est donc indispensable que la série soit convergente pour ces petites valeurs de x (354.). Et, si cette convergence n'est pas établie a priori, il faut la vérifier après coup avec le plus grand soin et montrer que la série représente bien la fonclion dans les limites indiquées.

422. Il est clair qu'une même fonction F(x) ne peut correspondre qu'à une seule série convergente de la forme

A -+- Bx -h Cr*-4- D jr*-h. . . .

Si Ton trouvait un second développement de même forme,

A'+B'^ + W + DV + ..., il devrait être égal au premier, et l'on aurait

( A + Ba; + C^-i-D^ + ...

(4) ) = A' 4- B'x -h C'x*-h D\r3-t-. . . ou

\JL-A,) + {B-Bf)x-h(C-C')xi+(D-D')x* + ... = o.

Comme cette dernière égalité, vraie quel que soit x dans les limites convenables, est une identité, on en déduit immédiatement (17)

En d'autres termes, deux séries convergentes , ordonnées suivant les puissances ascendantes de x, entières et positives, ne peuvent être égales sans être identiques.

EXEMPLE

423. Pour bien fixer les idées sur les considérations précédentes, nous traiterons l'exemple suivant :

Développer en série ordonnée le produit indéfini

(i + jr)(i-f-.r«)(i-f-.r*)(i-+-.ii*)(i -+-.r16)

Désignons ce produit par $, et posons

$ = 14- Apr-h A3.r2H- A j*3 -+-...,

At, As, A3, ... étant les coefficients à déterminer dans la série supposée.

Si Ton change x en x* dans cette série, elle devient

i -h Ai j?j -h Aj .r* +A3^6 +

D'autre part, si Ton effectue le même changement dans le produit donné, il devient évidemment

c'est-à-dire

On doit donc avoir

...... i-f- A,.r-t- A2.r*-4- Aj-r*-*-..

i-h Ai.r*4- Aixv-4-A3.^6-H. ..=

Au lieu de former la relation

P -+- Q.r -4- R.r« -h Sx3 -h. . . = o

du n° 420, et d'égaler ses coefficients à zéro, il revient au môme de chasser le dénominateur i+j et d'égaler les coefficients des mômes puissances de x dans les deux membres de l'égalité qu'on vient d'obtenir.

On trouve ainsi, successivement,

Aj = i, Ai = Aî, Ai=A8, Ai=A4, Aj=A5, A8=A«, Aa=A7, ...,

c'est-à-dire Ai = i, Ai = A2j Aî=A3, A3 —A4, A4=A5, On a donc, finalement,

(1 -4- x) (i-f- .r*) (i-f- .r*) (1 -+- .r») (1 -+- xi6). . .

( =i + jr + x2+.r3+ .r* +.r5 + ili +

Le second membre de l'égalité (1) représente légitimement le quotient > lorsque x est <i (356); il représente donc aussi légitimement, sous la même condition, le premier membre de celte égalité. On a, en effet, identiquement,

I i-hx (i-h.r)O -H.r2)

Pour la /!*■• fraction, n entier tend vers l'infini et, x étant < 1, x1""' est un infiniment petit qui s'annule à la limite (336). On trouve donc

alors, pour valeur du premier membre de l'égalité (1), le quotient -—

ou le second membre de cette égalité.

Le développement en série est ainsi justifié.

Développements en séries des fractions continues dont les numérateurs des fractions intégrantes sont tous égaux à l'unité.

424. Nous rappellerons d'abord que, lorsqu'on réduit une quantité quelconque en fraction continue (151), les réduites de rang impair, inférieures à cette quantité, forment une suite croissante, tandis que les réduites de rang pair, supérieures à celte quantité, forment une suite décroissante (154, 155, 156). Ces deux suites se terminent quand la quantité considérée est commensurable, et la dernière réduite reproduit sa valeur. Quand cette quantité est un nombre incommensurable, la différence de deux réduites consécutives allant toujours en diminuant et tendant vers zéro, les deux suites indiquées se rapprochent indéfiniment et convergent vers une limite commune qui est ce nombre incommensurable (163).

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 35g

425. Soit X la quantité réduite en fraction continue. Représentons les réduites successives par

Pi P2 P3 P„

qV q2' q7 "■' o7 ••"

On peut écrire identiquement, comme valeur de la réduite P„

JQ-~Q. VQi QJ \Q. oJ

( +(&~&)+---+(fe-fe)'

En considérant les fractions renfermées dans les parenthèses du second membre de cette identité, on sait que le numérateur de la différence de deux réduites consécutives est toujours rb i suivant le rang de la première réduite (160, 161).

p Nous aurons donc à la limite, puisque r-p converge autant

qu'on veut vers X à mesure que l'entier n tend vers l'infini,

Jx=lim£

( -^VQ.^Q^, 0,0,^0,0, "^Qn-tQn"')'

X sera ainsi la limite de la série convergente écrite dans le second membre de l'égalité (2) et obtenue en fonction des éléments de la fraction continue qui correspond à X.

426. Tout développement en fraction continue pouvant ainsi donner lieu à un développement en série, il est naturel de chercher, réciproquement, à développer en fraction continue toute série convergente.

Mais alors on est conduit, comme nous le verrons bientôt, à des fractions continues dont les numérateurs des fractions intégrantes ne sont plus tous égaux à l'unité.

Avant d'aller plus loin, nous croyons donc nécessaire d'exposer succinctement les propriétés de ces fractions continues, plus générales que celles que nous avons considérées jusqu'à présent.

36o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Digression sur les fractions continues dont tous les éléments peuvent être des nombres quelconques.

427. Nous allons considérer des fractions continues de la forme

bx H — —

où les numérateurs ai9 au a3, . . ., des fractions intégrantes ax a4 a5

différents de l'unité

(151) -r-S 7-^ -t^j •• • > peuvent être des nombres quelconques 0i #i 0j

428. Calculons d'abord les premières réduites, pour chercher à découvrir leur loi de formation. Les quatre premières réduites sont les suivantes :

Première réduite :

Deuxième réduite :

a* abx-\- a,

bx bx

Troisième réduite :

ax axbt abxbt-\- axbt-\- aat

a, bxb%+at blbl+ai

Quatrième réduite :

6j H Gj

r/3 btbz + a%

bl+bz

a6t 6j £s 4- ax bt bi ■+■ aat b* -+- abx a8 -+- <7, a» bxbtb3 -+- at b3 -h ^a,

On aperçoit immédiatement, pour la troisième et la quatrième réduite, qu'il faut multiplier les deux termes de la dernière réduite calculée par le dénominateur de la nouvelle fraction intégrante introduite et ajouter le résultat obtenu terme à terme avec la réduite antéprécédente, en multipliant préalablement les deux termes de celle-ci par le numérateur de la nouvelle fraction intégrante.

Nous allons généraliser ce résultat, en remarquant que, si les numérateurs des fractions intégrantes sont tous égaux à l'unité, on retombe sur la loi connue (157).

Désignons symboliquement les réduites successives de la fraction continue par

Po P, P, Ps P

Q.' Qi' 07 0.' "" Q.

l'indice se trouvant ainsi en retard d'une unité sur le rang de

la réduite.

Si Ton applique l'énoncé précédent à trois réduites consé-

P P P cutives quelconques ~— -, t^> tt^1' on obtient la formule

où les termes des deux fractions sont séparément identiques, c'est-à-dire satisfont aux relations

P/H-i=Z P/l^rt+1^ P«-itt«+i>

Pour montrer que la formule (i) subsiste toujours, il suffit, suivant un tour de démonstration usité, de prouver que, si elle est vraie lorsque Ton considère les fractions intégrantes jusqu'à

y^j elle l'est encore lorsqu'on passe à la fraction intégrante

Or, en se reportant à l'expression de la fraction continue

p (427), on voit que, pour déduire la réduite ^r^ de la réduite

Tr^-y on n'a qu'à changer, dans le second membre de la for-

mule (i), &/M-i en &„+.-{- 7— • On trouve ainsi

Pn ( bn+t -r 7^ ) 4- Pw, «,,h-i

Q/i f ^1 -H ^ J -H Q/1-1 "«-ni

ou, en chassant le dénominateur 6„+2î

P,i+* ( P„ bn+i -h Pn-, an+x ) 6„+a -h P„ an +?

On en déduit immédiatement, d'après la formule (1),

Q«-f 2 \J« + 1 ^//-l-2 ~+~ Qlt rt/lH-2

Ainsi,lorsque Ton considère une nouvelle fraction intégrante et une nouvelle réduite, la formule (1), supposée applicable jusque-là, se trouve encore vérifiée. Comme on l'a démontré directement pour la troisième et la quatrième réduite, elle se trouve établie pour la cinquième, et ainsi de suite. Elle est donc tout à fait générale et exprime la loi de formation des réduites.

429. On peut facilement, comme nous l'avons fait pour les fractions continues spéciales, étendre cette loi de formation à la deuxième réduite elle-même.

En introduisant, en dehors des réduites réelles, la réduite

fictive -y nous aurons la suite (428)

1 P0 a P± __ abj-ï- ax

ô' <^ — 7' Q, "" bx '

et la deuxième réduite ^- sera bien liée, suivant la même

P 1 règle, aux réduites 7^ et -• Qo o

430. Proposons-nous de déterminer la différence de deux réduites consécutives.

On a

11 faut trouver Y expression générale du numérateur de cette différence, qui se réduit à ±:i quand tous les numérateurs des fractions intégrantes sont égaux à l'unité (161). Prenons les relations (428)

En substituant ces valeurs de Pn+l et de Qn+1 dans le numérateur Pn+iQn— Qn+tPn, il vient

(PuA^t+P^-i^+iJQ,,— (Q/i^«-hl-i-Q/i-l«n-hl)I>«

On obtient donc la formule générale

(i) P.+tQJI-Q*+iPll = (-i)(PJiQJ.-1-QllPw-,)flJi,,.

En faisant successivement, dans cette formule (i), n — i, 2, 3, 4, . • ., n, on en déduit les relations

P, Oi-Q2 Pi = (-0(PiQ. -QiPq )«., P3 Q*-Q3 P« = (-0(PtQi Q2Pi )«», P* Q3-Q4 Pa = (-«)(P,Q2 -Q3P, )«*,

P-wQ,- Q«4-iPi,= (- 0 (P.Q.-i- Q.P*-i)**-h.

Remarquons que les deux premières réduites (4-28)

Po a Pj^ abi-hai

Qo " 1 Q, ~~ *,

ont précisément, pour numérateur de leur différence,

PiQo-QiPo^*,.

Il en résulte évidemment que, si Ton multiplie membre à membre toutes les relations précédentes, on obtient, après simplification,

(2) P«-hiQ«— Q,i-hiP« — (— i)nalasaiai...aH+l.

Si les numérateurs au au az, . . ., a/l4-i des fractions intégrantes sont tous égaux à l'unité, on retrouve bien la formule connue (161). En effet, l'indice /1-+-1 indique (428) qu'il s'agit, comme première réduite, de la réduite de rang n-\- 2. Or, n-\-i est pair ou impair en même temps que n.