I. Considérons d'abord une série S de la forme

at at a8 a±

On peut écrire identiquement

i i at — ax t

al a2 a-x at

a% — at

Remplaçons dans cette égalité — par , c'est-à-dire

par

asa3 #2^3

Cela revient évidemment à remplacer a„ dans — > ou a„ d'une manière générale, par

ata3 ==g1 = gi+gi= aï .

ûfj — as at a4 a3 — a%

En effectuant les deux changements correspondants dans les deux membres de l'égalité (i), nous aurons

» r- - - + zr =

a2 H — ax a% — ai -+-

a>z — o>% a3 — as

Nous pourrons de même remplacer, dans le premier membre de l'égalité (2), — par et, dans le second membre,

as par az-\ - —

La loi est évidente et, en continuant toujours la même transformation, on voit que la valeur de la série indéfinie S

en fraction continue illimitée est la suivante

La fraction continue présente la même convergence que la série, puisque le nombre des fractions intégrantes conservées dans le second membre de la formule (3) est égala celui des termes considérés dans la série.

Il est clair que, si la série donnée étçût divergente, la fraction continue correspondante, qui est une fraction continue générale (k27), le serait aussi.

EXEMPLES