Supposons qu'on ait

Si l'on conçoit cette équation résolue par rapport à x, on en déduit

Les deux fonctions désignées par les signes F et 9 sont ce que nous avons appelé des fonctions inverses. La remarque faite à ce sujet (441) acquiert une pleine évidence, lorsqu'on regarde y comme l'ordonnée de la courbe qui représente graphiquement la fonction y = ¥(œ) et x comme son abscisse (Alg. élém., 312 et suiv.). La courbe étant construite, il est clair que Ton peut aussi bien regarder l'ordonnée d'un de ses points comme fonction de l'abscisse, que l'abscisse elle-même comme fonction de l'ordonnée.

445. En général, les variables qui entrent dans une question sont liées entre elles par un système d'équations exprimant toutes les conditions de l'énoncé.

Il y a toujours plus de variables que d'équations; sans quoi, elles seraient, en général, déterminées, et ne joueraient plus le rôle de variables.

Supposons, par exemple, qu'on ait six variables et quatre équations. On choisira alors deux variables qu'on regardera comme devant recevoir des valeurs arbitraires et qui seront les variables indépendantes. Les quatre autres variables, déterminées par les valeurs des deux premières, à l'aide des quatre équations posées, seront des fonctions de ces deux premières variables.

Si l'on cherche l'aire d'un cercle, les deux variables sont l'aire du cercle et son rayon, liés par une seule équation (Géom., 259). On peut alors prendre le rayon pour variable indépendante, et dire que l'aire du cercle est fonction de son rayon.

De même, si l'on cherche le volume d'un cylindre de révolution, les trois variables sont le volume du cylindre, sa hauteur et le rayon de sa base circulaire, liés par une seule équation (Géom., 443). On peut alors prendre la hauteur et le

374 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

rayon pour variables indépendantes et dire que le volume du cylindre de révolution est fonction de sa hauteur et du rayon de sa base.

Différentes espèces de fonctions.

446. Les fonctions appartiennent naturellement à deux catégories principales : elles sont algébriques ou transcendantes.

Dans le sens le plus général, y est une fonction algébrique de x9 quand chaque couple de valeurs correspondantes dextt de y satisfait à une équation de la forme

dont le premier membre est un polynôme entier et rationnel en x et en y.

Cette définition s'étend aux fonctions de plusieurs variables. Ainsi z est une fonction algébrique de x et de y quand chaque 1 couple de valeurs correspondantes, de z d'une part, et de x et 1 dey, d'autre part, satisfait à une équation de la forme j

F(tf,7,s) = o,

dont le premier membre est un polynôme entier et rationne! en x9 y 9 z.

Les fonctions transcendantes sont toutes celles qui échappent à{ la définition précédente, comme

y = ax, y = \ogx, j = sino:, 7 = tango?,

y £ = marctang — •