Tout polynôme entier en x, tel que

A0 xm -f- Aj x"1-1 -4- A, xm~% 4- . . . H- A,*-! x -4- A,„,

où m est un nombre entier et positif et A„, Al9 At, ..., À^des nombres constants, est une fonction entière de x. Le quotient de deux polynômes entiers en x, tel que

A0xm -4- At xm~l -\- A, xm~* H- . . . •+- km~x x + A» B0 a?* -+- Bi x*^ -f- B, xn~* -h... -h Brt, x -+■ Ba '

est une fonction rationnelle de x.

Lorsque la fonction algébrique définie (446) par l'équation

est du premier degré en 7, on voit qu'elle donne précisément pour^ : ou un polynôme entier en x, c'est le cas de la fonction entière; ou le quotient de deux polynômes entiers en x9 c'est le cas de la fonction rationnelle.

kk8. L'étude des fonctions entières constitue précisément la Théorie générale des équations (Algèbre supérieure, II6 Partie). Quant aux fonctions rationnelles, nous examinerons également dans cette seconde Partie la décomposition importante à laquelle on peut toujours les soumettre (Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples).

449. Une fonction est dite explicite, lorsqu'elle est exprimée immédiatement au moyen des variables dont elle dépend, c'est-à-dire lorsque les opérations à effectuer sur les valeurs des variables pour obtenir les valeurs correspondantes de la fonction sont indiquées immédiatement par les signes connus.

Ainsi les fonctions

y = x ± \Jx% — a*, y = logo?

sont des fonctions explicites de x : la première est algébrique, la deuxième est transcendante.

La forme générale des fonctions explicites est

450. Une fonction est dite implicite, lorsqu'elle est mêlée aux variables dont elle dépend dans des équations non résolues, de sorte que les opérations à effectuer sur les valeurs des variables pour obtenir la valeur correspondante de la fonction n'apparaissent pas; ou bien, lorsque la fonction est liée aux variables par des conditions non exprimées.

Si l'on a, par exemple,

hx* — 2xy ■+■ y* — 3a*rr o,

y est une fonction implicite de x, comme x une fonction implicite de y. En résolvant l'équation donnée par rapport

à Tune des variables y, on passe de la fonction implicite à la fonction explicite

y = x±yj$(a}— x1).

La forme générale des fonctions implicites est F(*,7,s, ...) = o.

Extension de ridée de fonction. Intervalles. Fonctions finies et non finies.

4-51. On peut étendre l'idée de fonction. Nous n'indiquons cette extension qu'à un point de vue absolument théorique, et pour faciliter la compréhension des notions qui suivront.

Nous dirons d'abord un mot de ce qu'on entend par un ensemble de nombres.

Quand des nombres satisfont exclusivement à une certaine condition déterminée, ils forment un ensemble : ils peuvent être rationnels ou irrationnels, égaux ou inégaux, en nombre fini ou infini.

L'ensemble de ces nombres est défini, lorsqu'on peut reconnaître que tel nombre donné appartient ou non à l'ensemble. Ainsi, les nombres entiers forment un ensemble, d'où sont exclus immédiatement les nombres fractionnaires et les nombres incommensurables.

Quand aucun des nombres considérés ne surpasse une certaine limite L, l'ensemble admet une limite supérieure L; quand aucun de ces nombres ne tombe au-dessous d'une certaine limite /, l'ensemble admet une limite inférieure L Ou bien les deux limites seront atteintes et feront partie de l'ensemble, ou bien on pourra en approcher autant qu'on voudra.

4-52. Cela posé, prenons un ensemble de nombres tous distincts et regardons-les comme les valeurs attribuées à une variable x. Si, à chacune de ces valeurs de x, on fait correspondre un nombre y, on peut dire que y est une fonction définie de x pour les nombres appartenant à l'ensemble choisi.

Soient maintenant deux nombres quelconques a et b (a<b). On peut appeler intervalle (a, b) l'ensemble de tous les nombres, rationnels ou non, compris entre a et à, les deux extrêmes a et b faisant aussi partie de l'intervalle.

L'étendue de l'intervalle est alors la différence 6 — a; et si les nombres a', b' appartiennent à l'intervalle (a, b), l'intervalle (a', b') lui-même est contenu dans l'intervalle («, b).

Pour qu'une fonction y de a? soit définie dans l'intervalle (a, 6), il faut qu'à chaque valeur de x représentée par un des nombres de l'intervalle corresponde une valeur déterminée de y, qu'on peut d'ailleurs assigner d'une manière complètement arbitraire.

On obtiendra par cette voie les fonctions les plus variées, sans grande utilité apparente, il est vrai; car ce sont les besoins et les développements de la Science qui ont conduit et qui conduisent, successivement et naturellement, à l'étude des fonctions présentant un véritable intérêt. Les considérations précédentes vont néanmoins nous servir à préciser des points délicats.

453. Une fonction yz=¥(x) définie dans l'intervalle (a, b) a, par hypothèse (4-52), une valeur déterminée pour chaque valeur de la variable x appartenant à cet intervalle.

Toute fonction entière de x est évidemment définie dans un intervalle quelconque. Il en est de même de toute fonction rationnelle de x, pourvu que l'intervalle considéré ne renferme aucune valeur de x annulant le dénominateur de la fonction (447).

Une fonction est dite finie dans l'intervalle (a, b), s'il existe un nombre positif A tel que, dans cet intervalle, chaque valeur de la fonction soit, abstraction faite du signe, inférieure à A.

Lorsqu'une fonction y = Y(x) est finie dans un intervalle (a, b), elle admet, en général, dans cet intervalle une limite supérieure L et une limite inférieure /, c'est-à-dire que chaque valeur de/, pour une valeur de x appartenant à l'intervalle considéré, est au plus égale à L et au moins égale à /. En effet, quelles que soient les variations de la fonction, elle ne pourra pas, par définition, s'élever positivement au-dessus de -+- A, et elle ne pourra pas descendre négativement audessous de ■— A.

Il est clair que A peut se confondre, en valeur absolue et sauf un infiniment petit, avec L ou avec /. Dans tous les cas, si L et / sont de mêmes signes, on a forcément L > /; et cette condition est remplie a fortiori, si L et / sont de signes contraires.

D'après cela, la différence L — /, où L et / entrent avec leurs signes, est toujours positive. Cette différence (qui peut être nulle) est Yoscillation de la fonction dans l'intervalle (a9 b).

Cette oscillation a évidemment 2 A pour limite supérieure, en admettant que L et / soient de signes contraires et aient môme valeur absolue; elle peut être beaucoup plus faible.

Si Ton divise l'intervalle (a, b) en n intervalles partiels et | si l'on désigne dans chacun d'eux, par Llf Ls, L,, . . ., L*, les limites supérieures de la fonction et par llf /,, /,, . . ., ln, ses | limites inférieures, L sera le plus grand des premiers nombres et /, le plus petit des seconds.

L'oscillation de la fonction dans un intervalle (a', b') contenu dans l'intervalle (a, b) (452), est au plus égale à l'oscillation L — /.

454. Soient une fonction y=zF(x) définie dans l'intervalle (a, b) et deux valeurs quelconques de la variable, œx et xt, appartenant à cet intervalle.

A étant un nombre positif donné, si l'on a, en valeur absolue, pour la différence des valeurs correspondantes de la fonction,

on peut affirmer que la fonction est finie dans l'intervalle considéré (453).

En effet, sa valeur absolue reste, dans cet intervalle, toujours inférieure à F (a) -h A.

Son oscillation est, en même temps, au plus égale à A (453).

455. Réciproquement, si une fonction / = F (#) est définie dans l'intervalle (a, b) (452), sans être finie (453), cela signifie que, quel que soit le nombre positif donné À, il y a, dans l'intervalle (a, b), au moins une valeur de x telle, que la valeur absolue de F(a?) surpasse A.

Si l'on divise alors l'intervalle (af b) en un nombre quelconque n d'intervalles partiels, il y aura au moins un de ces intervalles partiels (xt,&*) pour lequel la fonction ne sera pas finie et pqur lequel on aura, en valeur absolue (454),

F(ar1)-F(arf)>A.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3jg

De la continuité des fonctions d'une seule variable.

456. On dit qu'une variable est continue dans un certain intervalle, lorsqu'elle ne peut passer de sa première valeur à la dernière sans parcourir toutes les valeurs intermédiaires (Alg. éléni., 310).

Il est entendu que ces valeurs peuvent être négatives ou positives, et que leur ordre de grandeur est toujours réglé d'après la définition adoptée précédemment (Alg. élém., 214, 218).

Par exemple, la variable x est continue dans l'intervalle ( — 5,-3), lorsqu'elle ne passe d'une limite à l'autre qu'en prenant toutes les valeurs négatives dont la valeur absolue est comprise entre 5 et 3. De même, elle est continue dans l'intervalle (—2,7), lorsqu'elle prend successivement la valeur — 2, toutes les valeurs comprises entre — 2 et 7, et la valeur 7. Les valeurs intermédiaires sont ici toutes les valeurs négatives de —2 à o, le nombre o lui-même, et toutes les valeurs positives de o à 7.

457. Il faut maintenant définir la continuité d'une fonction y=zF(x) dans un intervalle (a, b).

Soient xt et x* deux valeurs quelconques de x appartenant à l'intervalle, et k un certain nombre positif tel qu'on ait

(1) x^ xt<h.

Désignons par k un autre nombre positif. La fonction sera continue dans l'intervalle (a, b), si l'on a, en même temps que (1), et en valeur absolue,

(2) F(jr1)-F(d?1)<*.

458. Remarquons qu'une fonction continue dans l'Intervalle (a, b) est nécessairement finie (453) dans cet Intervalle.

On peut, en effet, choisir k arbitrairement et déterminer ensuite la valeur corrélative de h (457); puis, diviser l'intervalle (a, b) en un nombre n d'intervalles partiels, tel que chacun d'eux soit moindre que h. La valeur de la fonction restera alors (454) moindre que F(a)-hk dans le premier intervalle partiel, moindre que F (a) 4- 2 k dans le deuxième

38o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

intervalle, ..., moindre que F(a)-t-nk dans le nième intervalle. Elle sera donc finie dans l'intervalle (a, b) (454).

On voit, en même temps, que l'oscillation de la fonction continue dans chaque intervalle partiel sera au plus égale à k; car, s'il n'en était pas ainsi, on aurait en même temps que œi — xt<h9 et contre l'hypothèse, F(#j) — F(xt) > Xr.

459. Réciproquement, si la fonction F(x) est finie dans l'intervalle (a, b)> elle est continue dans cet intervalle.

En effet, on peut alors diviser l'intervalle (a, b) en /* intervalles partiels tels, que dans chacun d'eux l'oscillation de la fonction soit moindre qu'un nombre positif donné A* (453). En désignant alors par h un nombre positif moindre que l'étendue du plus petil de ces intervalles partiels, on pourra prendre deux valeurs xx et xt de la variable x, appartenant à l'intervalle {a, b) et présentant une différence inférieure à h.

Si xï et xt appartiennent à un même intervalle partiel, on aura nécessairement (453)

F(«,)-FW<*,

en même temps que

xx — #,<//.

Si xx et xt appartiennent à deux intervalles partiels contigus, dont l'origine commune réponde à une certaine valeur X de la variable x, on aura

F(*i) - F(^) = [F(xt) - F(X)] + [F(X) - F(*,)],

c'est-à-dire

F(.r,) — F(.Tt)<aX\

La continuité de la fonction F(x) dans l'intervalle (a, b) est donc établie (457).

460. La fonction F(x) étant continue dans l'intervalle (a, b)} si, au lieu de prendre, dans cet intervalle, deux valeurs quelconques xx et xit on suppose que la variable x croisse d'une manière continue (456), il est clair que la différence xx — xt tendra vers zéro autant qu'on voudra, en même temps que le nombre positif A qui est simplement une limite supérieure de a?,— xt (457).

D'autre part, le nombre n des intervalles partiels pour cha-

cun desquels l'oscillation de la fonction est moindre que le nombre positif k (458) tendant alors vers l'infini, tandis que l'oscillation totalede la fonction dans l'intervalle (a, b) est une quantité finie qui a pour limite supérieure nk (458), le nombre k>Y(xx) — F(xt) tendra aussi vers zéro (Alg. élém. ,118). On peut donc dire encore que, si une fonction y = ¥(x) est continue dans un intervalle {a, b), elle est continue pour chaque valeur de x appartenant à cet. intervalle, en ce sens qu'à un accroissement infiniment petit (336) de la variable x correspond toujours un accroissement infiniment petit de la fonction y, de sorte que, la variable passant d'une certaine valeur à une valeur infiniment voisine, il en est de même de la fonction.

461. Réciproquement, si une fonction yz=F(x) est continue pour chaque valeur de x appartenant à un intervalle (a, b), dans les conditions qu'on vient d'indiquer (460), elle est continue dans ce même intervalle (457).

Il faut bien comprendre d'abord que celte proposition n'est pas évidente et qu'elle a besoin d'être démontrée.

Et, en effet, si la fonction y=. F (x) est continue dans l'intervalle (a, b) pour chaque valeur de x appartenant à cet intervalle, on peut, en se donnant le nombre positif k9 faire correspondre à chaque valeur de x un nombre positif A, tel que l'oscillation de la fonction soit moindre que k dans tout intervalle partiel moindre que A, qui comprend x. Mais on ne peut pas affirmer a priori que toutes les valeurs de A ainsi trouvées et qui sont seulement plus grandes que zéro soient supérieures à un certain nombre positif A' : ce qui permettrait de conclure immédiatement que, dans tout intervalle partiel moindre que h! compris dans (a, b), l'oscillation de la fonction est moindre que k9 et qu'elle est, par suite, continue et finie dans l'intervalle (a, b) (457).

Admettons donc que, de quelque manière que l'intervalle (a, b) ait été divisé en intervalles partiels, l'oscillation de la fonction, dans l'un, au moins, de ces intervalles, soit égale ou supérieure à k. Nous allons montrer que cette supposition entraîne nécessairement la non-continuité ou la discontinuité de la fonction pour une certaine valeur de x appartenant à l'intervalle (a, b).

Supposons qu'on divise cet intervalle en ioA parties égales.

Les valeurs successives de la variable x, qui correspondront aux extrémités des intervalles partiels obtenus, seront évidemment

a, a-\ -, a-f-2 — - > ..., a -4- (iort — i)— — -, b. ■

' iort 10" \on

A mesure qu'on poursuivra l'opération, c'est-à-dire qu'on fera ' croître rentier n, retendue d'un intervalle partiel, représentée

par y tendra vers zéro autant qu'on voudra. Il en résulte

1 io* !

que, dans celui où, quel que soit n, l'oscillation de la fonction est supposée égale ou supérieure à k, les deux extrémités se rapprocheront indéfiniment d'une certaine valeur de x comprise dans cet intervalle partiel et pour laquelle, par conséquent, la condition F(j?,) — F(#,) < k ne pourra plus être remplie. La fonction, pour cette valeur spéciale de a?, ne serait donc plus continue (457).

Mais, puisque, par hypothèse, elle est continue pour toute valeur de x appartenant à l'intervalle (a, b)} il est impossible d'admettre l'existence d'un certain intervalle partiel où l'oscillation de la fonction serait égale ou supérieure à k. Dans tous, cette oscillation est donc inférieure à k, et la fonction est continue dans l'intervalle (a, b) [457].

Exemples de fonctions continues dans le cas d'une seule variable.

462. I. Toute fonction entière de x est une fonction continue (447).

Nous considérerons d'abord la fonction (i) y — kxP9

p étant un nombre entier et positif, et A un nombre constant. C'est la fonction simple algébrique dans le cas d'un exposant entier et positif.

Supposons que la variable x, à partir d'une valeur quelconque, reçoive l'accroissement h. La fonction y deviendra

et prendra l'accroissement k, qui aura pour expression, en

retranchant les équations (i) et (2) et d'après la formule du binôme,

(3) j =A[^-^+^f^^^ + ...4-Ap].

Il est facile de prouver que chacun des termes du second membre de cette expression peut devenir moindre qu'une quantité donnée S aussi petite qu'on voudra, en donnant à h une valeur suffisamment petite.

Posons, en effet, le terme général