n On en déduit

hn<

A./>(/> — ■)(/> — 2). . .(/> — n-\-i)xP~n

et Ton voit qu'il suffit de donner à l'accroissement h une valeur moindre que la racine niim* du second membre de cette inégalité, pour que le terme général soit plus petit que d.

Mais, si l'on peut attribuer à h une valeur telle, que chacun des termes de l'accroissement k, dont le nombre est p, soit moindre que S, l'accroissement k lui-même sera alors inférieur hpd.

Par conséquent, pour que cet accroissement soit moindre, à son tour, qu'une quantité désignée e aussi petite qu'on voudra, on n'a qu'à poser />d < e et à prendre

Ainsi, lorsque, pour chaque valeur de la variable x, l'accroissement h assigné à cette variable reçoit une valeur suffisamment petite, l'accroissement k pris par la fonction y peut devenir lui-même plus petit que toute quantité donnée. La fonction y = kxp est donc une fonction continue de x (1160, 461).

Soit, maintenant, une fonction entière quelconque de x

y = A0xm-t- A1#m-,H-A1a:m-t + . . . + Am-t.T + Am.

Nous venons d'établir qu'on peut donner à x un accroissement

assez petit pour que l'accroissement correspondant de chacun des m termes variables de la fonction soit moindre que toute quantité donnée. Il en sera donc de même, d'après ce qui précède, de l'accroissement de la somme de ces m termes ou de l'accroissement total de la fonction ; ce qui démontre la continuité de toute fonction entière de x.

463. II. La somme algébrique ou le produit de fondions continues en nombre fini est encore une fonction continue.

Considérons, par exemple, ia démonstration étant analogue pour les deux cas, le produit de p fonctions continues, telles que

F1(*)F,(*)Fs(.20-..F/,(*).

Donnons à la variable x, à partir d'une certaine valeur, un accroissement A. L'accroissement correspondant A: du produit aura pour expression

k= F, {x -h h) F,(# + h) Yz{x h- h). . .Fp(x -h h) -Fi(x)F1(x)Fz(x)...Fp(x).

Les fonctions proposées étant continues, les facteurs qui composent le premier terme de cette expression tendent indéfiniment, à mesure que h diminue, vers Ft(x), F»(jf), F3 (x), . . ., Yp(x), qui sont alors leurs limites. Comme il y a un nombre fini p de facteurs, la limite de leur produit est égale au produit de leurs limites (343). Il en résulte que le premier terme de la valeur de A- s'approchant indéfiniment du second terme de cette valeur, k diminue autant qu'on veut et peut devenir moindre que toute quantité donnée pour h assez petit, ce qui justifie l'énoncé*

464-. III. Le quotient de deux fonctions continues est une fonction continue.

Cette proposition est soumise à une restriction (453).

Lorsqu'il y a continuité, la fonction a pour chaque valeur

de la variable une valeur finie et déterminée (458).

F (x) Si l'on a comme fonction le quotient *, !, il ne faut donc

considérer x, au point de vue du théorème à démontrer, que dans un intervalle où aucune de ses valeurs ne puisse annuler le dénominateur F2 {œ) ; car, pour une pareille valeur, l'exprès-

sion de la fonction n'aurait plus aucun sens, du moins par elle-même. Dans tous les cas, comme le quotient proposé croît alors sans limite à mesure que x s'approche de la valeur qui, laissant le numérateur fini, annule le dénominateur, ce quotient, dans cette hypothèse, ne peut plus être une fonction continue.

Le théorème ne peut donc être vrai que lorsque x se maintient dans un intervalle tel, qu'aucune valeur de x ne puisse annuler le dénominateur F2(#).

Cette condition étant supposée remplie, donnons à x, à partir d'une certaine valeur, un accroissement h. La fonction prendra un accroissement correspondant k, représenté par

Fjjx+h) F,(x) Fi(x-hh)Fi(x) — Fl(x)Fi(x-hh)

Ft(x+h) F,(ar) " Fi(x)Fi(x -h h)

Or, à mesure que h diminue, le dénominateur de cette ex-

pression s'approche autant qu'on veut de F2(a?) , tandis que le numérateur converge évidemment vers zfcro, puisque les fonctions données sont continues. Il en résulte que la condi-

tion de continuité est remplie par la fonction -^ — '> sous la

ht(x)

réserve de la remarque précédente.

Le théorème subsiste quand le numérateur Ft(x) se réduit à une constante.

to>5. IV. Toute racine cT une fonction continue est une fonction continue, dans tout intervalle où cette racine conserve une valeur réelle (130, 131 ).

Soit la racine />ième d'une fonction continue F(x), considérée dans un intervalle où cette racine demeure réelle. Donnons à x, à partir d'une certaine valeur, un accroissement h. L'accroissement correspondant k pris par la fonction sera

11 faut prouver qu'on peut toujours rendre k aussi petit qu'on voudra, en donnant à h une valeur suffisamment petite. Nous emploierons ici la méthode de réduction à l'absurde (Géom.,$k).

Si k ne satisfaisait pas à la condition indiquée, il resterait supérieur à une quantité désignée d, quelque petit que fût h,

De C. — Court. 111. 25

de sorte qu'on aurait alors

tyFjx + ~h) - VF(x) > a

ou

F(jc+h)>(\/F(jr) + d)p.

Or celle inégalité est impossible; car, h tendant vers zéro, la limite du premier membre est F(x), puisque celle fonction est continue, tandis que le second membre est un nombre constant, évidemment supérieur à F(x).

k peut donc devenir aussi petit qu'on veut pour h assez petit, et la fonction fyF(x) est continue si elle est réelle.

466. La fonction donnée F(x) peut être une fonction entière de x ou, ce qui revient au même (302 et suiv.), une pareille fonction élevée à une puissance entière. Il est, par suite, permis de dire qu' une fonction entière de x élevée à une puissance fractionnaire quelconque est encore une fonction continue, pourvu que La condition indiquée (465) soit remplie.

11 en est de même d'une fonction entière de x élevée à une puissance négative (464).

En résumé, toute fonction entière de x élevée à une puissance quelconque, entière ou fractionnaire, positive ou négative, ne cesse pas d'être une fonction continue, sau f la restriction ci-dessus.

Cas des fonctions de plusieurs variables.

467. Les notions qui précèdent s'étendent aux fonctions de plusieurs variables.

Une fonction F(x, y} z), par exemple, peut être regardée comme continue dans un intervalle donné ou entre deux groupes de valeurs connues des variables x,y, z, si elle reste constamment réelle et finie dans cet intervalle, en variant par degrés insensibles, lorsqu'on fait varier x, y, z de la même manière dans les limites assignées.

Ainsi h, k9 l désignant les accroissements attribués respectivement à x, y, z, à partir d'un groupe de valeurs simultanées compris dans l'intervalle donné, l'accroissement correspondant de la fonction, représenté par

devra tendre vers zéro à mesure que h, k9 l diminueront, si la fonction proposée est continue.

En d'autres termes, dans cette hypothèse, si l'on fait tendre les variables x, y, z vers des valeurs limites a, b, c, la fonction F(x, y, z) devra approcher indéfiniment de F(a, b, c). C'est le principe général de la méthode des limites (348).

468. Nous croyons utile d'indiquer ici les propositions suivantes : la première se rapporte aux fonctions de fonctions et la seconde aux fonctions composées (voir Livre V).

469. I. Si y — F( x) est une fonction continue de x dans un certain intervalle, et si u = y(y) est une fonction continue de y dans cet intervalle, u est une fonction continue de x dans le même intervalle.

Car, si l'on donne à x, h partir d'une certaine valeur appartenant à l'intervalle considéré, un accroissement infiniment petit,/ prendra à son tour un accroissement infiniment petit, de sorte qu'il en sera de même de u. Par conséquent, lorsque # prend un accroissement infiniment petit dans les limites assignées, u prend aussi un accroissement infiniment petit. Dans ces limites, u est donc une fonction continue de x.

470. II. u et v étant des fonctions continues de x dans un intervalle donné, siF(u, v) est une fonction continue de u et de v dans le même intervalle, F(u, v) est, dans cet intervalle, une fonction continue de x.

Car, si l'on donne à x, à partir d'une certaine valeur prise dans l'intervalle considéré, un accroissement h, u et v prendront à leur tour les accroissements respectifs a et |3 et deviendront u 4- a et v -+- (3. L'accroissement correspondant de la fonction F(u, v) sera alors

En vertu de La continuité supposée et pour h assez petit, a et (3 tendront vers zéro autant qu'on voudra. 11 en sera donc de même de l'accroissement de la fonction F(u, v). Par conséquent, lorsque x prend un accroissement infiniment petit dans les limites assignées, F(u, v) prend aussi un accroissement infiniment petit et est une fonction continue de x dans les mêmes limites.

471. Si Ton voulait mettre en évidence la part de chaque accroissement de u et de v dans l'accroissement total de F(w, v), on écrirait cet accroissement (MO) comme il suit :

En faisant varier seulement u, on a, en effet, comme premier accroissement de la fonction ¥{u, r),

puis, en faisant varier e à son tour dans le premier résultat F(w-+- a, v), on a, comme nouvel accroissement de la fonction,

La somme des deux différences obtenues, dont la première s'annule pour a — o et la seconde pour (3 — o, est l'accroissement total de F( w, v), nul pour a = o et (3 — o.

Discontinuité.

472. En s'aidant du mode de représentation graphique, dont nous avons déjà donné un aperçu succinct en Algèbre élémentaire {Alg. élém., 312 et suiv.), on prend une idée très nette de la continuité d'une fonction dans un certain intervalle, aussi bien que des particularités qui peuvent se présenter et interrompre cette continuité, comme nous l'avons vu en traitant quelques exemples choisis {Alg. élém., 314 à 321). On dit alors que la fonction est discontinue.

Ainsi, pour une certaine valeur attribuée à x, les opérations par lesquelles on doit en déduire la valeur correspondante de la fonction peuvent conduire à des résultats n'ayant par euxmêmes aucun sens, comme — ou oo, -, o.oo, — Il faut, dans

oo

ce cas, faire tendre x indéfiniment vers l'une des valeurs qui entraînent ces résultats et chercher vers quelle limite converge la valeur simultanée de la fonction. Si cette limite existe ou est susceptible d'interprétation, elle fait connaître la valeur de la fonction pour la valeur spéciale de x qu'on a considérée.

Si l'on trouvait deux limites différentes de la fonction, comme ±:oo, par exemple {Alg. élém., loco cit.), pour une

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 38g

valeur x=xu la fonction s'approcherait indéfiniment de Tune ou de l'autre de ces deux limites, à mesure que la variable x tendrait verser,, en restant constamment plus grande ou plus petite que cette valeur xx.

473. Nous terminerons ces notions en citant encore un cas où il y a, pour ainsi parler, à la fois continuité et discontinuité. C'est celui où la fonction admet régulièrement plusieurs valeurs pour chaque valeur assignée à la variable dans un certain intervalle.

C'est ce qui a lieu, par exemple, en général, pour une fonction algébrique F(x, y)r= o (446), oùj entre à un degré supérieur au premier (449, 450).

La fonction est alors dite à détermination multiple.

Il faut, dans cette hypothèse, pour étudier la continuité réelle de la fonction, isoler les différents systèmes de valeurs ainsi associés, c'est-à-dire ne joindre à la valeur de x qu'une seule des valeurs correspondantes de 7.

Les remarques que nous venons de faire sur la discontinuité et que la Géométrie analytique (t. V) mettra dans tout leur jour s'appliquent à plus forte raison aux fonctions de plusieurs variables.