ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
Définitions et théorèmes préliminaires.
Exposants incommensurables.
klk. Quand la variable est en exposant, la fonction est dite exponentielle.
Nous allons l'étudier sous sa forme la plus simple
y — ax.
Nous supposons que a est un nombre donné positif , et que la variable x peut parcourir toute l'échelle des grandeurs réelles, de — oo à -*-x (Alg. élém.y 218).
W5. Quand x est commensurable, l'expression a* a un sens parfaitement déterminé.
Le cas de x entier ne présente aucune difficulté (128).
Soit x — —, m et n étant des entiers positifs.
On a alors, par définition (HO),
ax—an = tyam .
Comme a est positif, si Ton convient de ne considérer que les valeurs arithmétiques des radicaux (131), am aura une valeur positive, et il en sera de même de s/a™. C'est cette seule valeur que nous conserverons. Il ne peut donc y avoir aucune ambiguïté.
Soit, enfin, x=—p9 p étant un nombre entier positif ou un nombre fractionnaire à termes positifs. On a, dans ce cas,
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5g l
par définition (145),
et aP ayant, d'après ce qu'on vient de dire, une seule valeur positive, la valeur de ax est encore parfaitement déterminée.
476. Avant d'aller plus loin, remarquons qu'il est nécessaire de supposer a positif.
Si ce nombre constant était, en effet, négatif, am serait négatif pour m impair, et )/a~"1 aurait alors une valeur imaginaire pour toute valeur paire de n (130, a0). En faisant varier la valeur commensurable de x d'une manière quelconque, la fonction ax pourrait donc être alternativement réelle et imaginaire, et nous ne voulons l'étudier ici que dans ses valeurs réelles et même positives.
477. Il nous reste à examiner l'hypothèse de x incommensurable. Que signifie, dans ce cas, l'expression ax et quelle interprétation doit-elle recevoir?
Quand x est un nombre incommensurable, on regarde ax comme la limite des valeurs déterminées qu'on obtient en remplaçant x par des valeurs comme nsurables de plus en plus approchées (116 et suiv.)
Pour justifier cette définition, il faut prouver que la limite indiquée existe et qu'elle ne dépend pas de la manière dont on fait tendre les valeurs commensurables auxiliaires vers leur limite x.
Nous y parviendrons à l'aide des théorèmes suivants, d'ailleurs très utiles à connaître en dehors même de la question que nous traitons.
478. 1. Les puissances entières successives d'un nombre positif plus grand que i , toujours supérieures à i , vont constamment en croissant et peuvent surpasser toute quantité donnée.
Les puissances entières successives d'un nombre positif plus petit que i, toujours inférieures à i, vont constamment en diminuant et ont zéro pour limite (Alg. élém., 336).
Au lieu de s'appuyer sur les propriétés des progressions,
on peut d'ailleurs démontrer directement cette importante
proposition en faisant intervenir la formule du binôme (255).
En effet, a étant une quantité positive, tout nombre positif
plus grand que 1 peut être représenté par i + « et tout
nombre positif plus petit que 1, par La formule du
binôme donnant
on a alors, évidemment,
(1 -h a)m+1 > (1 h- x)m et (1 -h <x)m > 1 -+- ma;
(!)""'<(!)- et (-L-)m<-J—.
En faisant croître indéfiniment l'entier /n, ces inégalités justifient l'énoncé.
W9. IL Les racines successives d'un nombre positif plus grand que 1 vont constamment en diminuant et ont l'unité pour limite inférieure.
Les racines successives d'un nombre positif plus petit que 1 vont constamment en augmentant et ont V unité pour limite supérieure.
i° Soit a : ..- 1.
Toute racine de a sera plus grande que 1; car il n'y a qu'un nombre plus grand que 1, qui, élevé à une certaine puissance entière, puisse donner un nombre plus grand que 1 (178).
Cela posé, on a (138, 135)
m/— mtm+ 1 )/-rr Y ,
y a ~.z \Jam^ ' ,
'«+1/— m[mhi)/——
\ja~-. \/am.
On en déduit
Ml/—
c'est-à-dire
ya
y/a <. va.
Désignons maintenant par S une quantité positive aussi
pelite qu'on voudra, et posons
11 en résulte (^/^. élém., 217)
Cette inégalité sera satisfaite a fortiori (478) si Ton a
11 suffit donc de prendre
pour que la racine mièmtâe a, toujours supérieure à i, diffère de i d'une quantité inférieure à d.
2° Soit a < i .
Toute racine de a sera plus petite que i; car'il n'y a qu'un nombre plus petit que i qui, élevé à une certaine puissance entière, puisse donner un nombre plus petit que i (478).
Cela posé et en suivant la même marche, on trouve comme précédemment (i°)
\ Cl mim+im\
S/a c'est-à-dire
«+i/— mr—
Remarquons maintenant que, a étant moindre que i, on peut poser, en désignant par <x une quantité positive quelconque (W8),
a = 11 en résulte (128, 129)
Ta =
Or, i + « étant supérieur à i, on peut prendre m assez grand pour que ^n- a, supérieure à i, diffère de i d'aussi peu qu'on voudra (i°). Il en sera donc alors de même de v/â, toujours inférieure à i.
^94 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
480. III. Si a est plus grand que i, ses puissances positives sont plus grandes que i, et ses puissances négatives sont plus petites. C'est l'inverse, lorsque a est moindre que i.
Soit a > i .
On a (479)
ol
an = tya"l> i
puisque aP est plus grand que i (478). Soit a < r .
On a (479)
ul
aP
puisque aP est plus petit que i (478).
481. IV. Quand on donne à V exposant x des valeurs cornmensurables croissantes, la fonction ax varie toujours dans le même sens, en augmentant quand a est plus grand que i. en diminuant quand a est plus petit que i.
Soit a > i et q > p.
Nous aurons (480)
r'est-à-dire
Soit a < i et q>p.
Nous aurons (480)
c'est-à-dire
— —aV"P>i9
aP '
rt?> aP.
— =zai-P<iy
aP
a*<aP.
482. V. La fonction exponentielle simple y — ax est une fonction continue (457, 460, 461).
Il faut démontrer que sî, à partir d'une valeur commensurable quelconque, la variables croît d'une quantité commensurable A, la fonction/ croît ou décroît d'une quantité k, qui tend vers zéro en même temps que h.
Les deux valeurs de la fonction étant
a* et ax+h,
l'accroissement k a pour expression , dans le cas de a > i
k — aXA-h— aT— a*(ah — i);
et, dans le cas de a < i (481),
k = a*—a*+h — a*(\ - ah).
Hais A, étant commensurable, peut toujours se mettre sous la forme -• On a alors
ah— ap=tya~.
Pour faire tendre h vers zéro, il suffit de faire croître p indéfiniment. Dans celte hypothèse, y a tend autant qu'on veut vers l'unité (479), en restant supérieure à i et en décroissant quand a est plus grand que i, en restant inférieure à i et en croissant quand a est plus petit que i.
ax ayant une valeur déterminée, k tend donc toujours vers zéro en même temps que /*, et la proposition est démontrée.
483. Nous pouvons maintenant définir rigoureusement la valeur de ax} lorsque l'exposant .test incommensurable, en supposant d'abord a > i .
a* est, dans ce cas (481), un nombre plus grand que ceux qu'on obtient en remplaçant x par des valeurs commensurables plus petites, et un nombre plus petit que ceux qu'on obtient en remplaçant x par des valeurs comme nsu râbles plus grandes.
A mesure qu'on resserre les deux suites de nombres commensurables, en faisant croître, d'une manière quelconque, les valeurs commensurables plus petites que x et en faisant décroître, de même, les valeurs commensurables plus grandes.
Sg6 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
on approche autant qu'on veut, pour ces deux suites, d'une limite commune et déterminée, qui est la valeur de la fonction ax pour la valeur incommensurable de x que Von considère.
En effet, si l'on donne à x des valeurs commensurables croissantes, plus petites que la valeur incommensurable dont il s'agit, on forme une suite de nombres que nous désignerons par (S) et qui vont en croissant (481) tout en restant plus petits que ax. D'autre part, si Ton donne à x des valeurs commensurables décroissantes, plus grandes que cette même valeur incommensurable, on forme une autre suite de nombres (S'), qui vont en décroissant (481) tout en restant plus grands que ax.
Les nombres (S), étant plus petits qu'un nombre quelconque de la suite (S'), augmentent en s'approchant d'une certaine limite. Les nombres (S'), étant plus grands qu'un nombre quelconque de la suite (S), diminuent en s'approchant d'une certaine limite. Les deux limites sont d'ailleurs les mêmes; car, si m et m! appartiennent respectivement aux deux séries d'exposants commensurables, les puissances am et a"1' appartiennent aussi respectivement aux suites (S) et (S'); et leur différence
a»*,— am=i{am — ax)-+-{ax—am)
peut être rendue aussi petite qu'on veut en rapprochant m et m' qui, par hypothèse, convergent vers x, puisque la fonction ax est une fonction continue (482).
484. Nous venons de définir (483) ax, pour x incommensurable, dans le cas de a > i.
Si a est plus petit que i, on peut toujours le ramener à la forme
a' étant plus grand que i.Ona alors
a'x et, comme a'x est défini, ax le sera par cette formule même.
485. 11 est évident, d'après ce qui précède (483), que toutes
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3i)J
les règles démontrées pour les exposants commensurables s'appliquent sans changement aux exposants incommensurables.
Supposons qu'on ait, par exemple, à multiplier o* par a>\ x et y étant des nombres incommensurables. On a nécessairement (150)
On peut, en effet, considérer les deux suites indéfinies de nombres incommensurables, croissants ou décroissants (110 et suiv.),
***!> ***»> ^3» • • • » ^nt • ' • >
y\i y t> y%t •••♦ yn> ...,
dont x et y représentent respectivement les limites. Si l'on forme en même temps la suite
^îH-Vi, .ri-hVi, xz H- /„ ..., xn-t-yn, ....
la limite d'une somme étant égale à la somme des limites des parties (342), cette nouvelle suite indéfinie aura pour limite x+y.
11 en résulte que les trois suites
axt9 ax*, ax>, .... o*», ...,
auront pour limites respectives o*, a^, a*** et, comme on a constamment, et quel que soit n,
ax»a?»=iaxn+Yn,
et que la limite d'un produit est égale au produit des limites des facteurs (343), on aura aussi (334)
axay=zax+r.
Les autres règles connues s'ensuivront ou se démontreront de la même manière.
En d'autres termes, tout ce qui aura lieu pour des exposants commensurables s'étendra toujours au cas où ces exposants deviendraient incommensurables.
Propriété caractéristique de la fonction exponentielle.
4-86. Proposons-nous de trouver la forme la plus générale de la fonction f ', telle qu'on ait, pour toutes les valeurs réelles de x et de y y
La fonction exponentielle satisfait à cette condition, puisque, comme nous venons de le montrer (485), on a toujours
axar—ax+r.
11 faut prouver qu'aucune autre fonction continue ne jouit de cette propriété qui caractérise, par suite, la fonction exponentielle.
D'abord, si une fonction / satisfait à la relation (1), quels que soient x et j, elle y satisfera encore quand on remplacera
à la fois x et y par -> d'où
11 en résulte que la fonction / doit être positive, quel que soit x.
De môme, si une fonction / satisfait à la relation (1), quels que soient x et yy elle y satisfera encore en supposant y égal à un multiple quelconque de x, c'est-à-dire
y=x, 2xy 3j\ ..., mx, ...;
d'où, successivement,
ou
Ainsi, toute fonction /qui satisfait à la relation (1) satisfait aussi à la relation
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3g<)
Nous allons étendre cette relation (2) à toutes les valeurs réelles de /w, qu'elles soient fractionnaires au lieu d'être entières, ou négatives au lieu d'être positives.
La relation (2) indique que la fonction/ se trouve élevée à la puissance m, quand la valeur arbitraire de la variable x est multipliée par m.
Il en résulte qu'en divisant, au contraire, la variable par un nombre entier m, on obtient la racine miéme de la fonction ;
car, si l'on part de la valeur -'-'- de la variable et de la valeur
correspondante/! — j de la fonction, on n'a qu'à multiplier
— par m pour obtenir la puissance //iième de /( — ) Or, on trouve alors x pour la variable; on doit donc trouver /(x) pour la puissance mième de/( — ]> c'est-à-dire que/( — ) est précisément la racine mième de/(.r). On peut donc écrire
C'est la détermination arithmétique qu'il faut prendre pour "\//(x) et il n'y a qu'une seule valeur à considérer, puisque,
d'après ce qui précède, /(— ) doit être positive aussi bien
quef(x).
On peut maintenant multiplier la variable x par un nombre
commensurable quelconque -•
En effet, en prenant pour point de départ la relation (3) sous la forme
on a, en multipliant la variable - par l'entier/? et en élevant
en même temps la fonction [f{x)\i à la puissance/?,
La fonction cherchée doit donc satisfaire à la relation (2 quel que soit x, et pour toutes les valeurs commcnsurables
positives de m; par conséquent, aussi, pour toutes les valeurs incommensurables positives de m, d'après la théorie générale des limites (34-8); car, si ml9 mif m3, ..., mn, ... forment une suite de nombres commensurables ayant pour limite le nombre incommensurable m, on aura, quel que soit l'indice choisi,
[f (*)]**-= f(mM*).
Lorsque n augmente indéfiniment, mn tend vers m par hypothèse et, en vertu de la continuité de la fonction exponentielle simple (W2), x ayant une valeur déterminée, [/(attend vers [f{x)]m; d'autre part, mnx tend vers mx et, la fonction cherchée étant supposée continue, f(mnx) tend en même temps vers /(mx).
Ainsi, quelle que soit la valeur positive de /w, on a
If {*)]"= f{mx).
Il reste à considérer les valeurs négatives de m. Si l'on remplace, dans la relation (i), y par — x9 on a
Pour connaître /(o), nous ferons 7=0 dans la relation (1), d'où
/(*)/(o)=/(*), c'est-à-dire
Il en résulte
Posons maintenant, m! étant un nombre positif quelconque,
Nous aurons d'après la relation (4)> puisqu'on peut multiplier la variable par un nombre positif quelconque,
Mais, d'après la relation (2), f(m'x) n'est autre chose que [ f(x)]m'* Par suite,
/(-^f*)=[7ïi5P = [/(*)]"-'•
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. !\Q l
ce qui revient à
La relation (2) se trouve ainsi complètement généralisée.
Nous arrivons donc à ce résultat : toute fonction satisfaisant à la relation (1), quelles que soient les valeurs réelles de x et de y y satisfait à la relation (2), quelles que soient les valeurs réelles de x et de m. On a donc le droit d'échanger x et m dans cette relation (2). Comme son premier membre demeure alors identique à lui-même, on a
Si, en s'appuyant sur la relation (3), on extrait la racine mièmc des deux termes extrêmes de la relation (5), il vient enfin
II s'ensuit que la fonction /(x) ne peut être que la puissance x d'une quantité indépendante de x, celte quantité indépendante étant une constante positive. Si on la désigne par a, on retrouve
La substitution de la relation (2) à la relation (1) n'a introduit d'ailleurs aucune solution étrangère; car, si l'on remplace, dans la relation (i)9/(x) par a*,f(y) par ay,f(x-hy) par ax+y, cette relation est satisfaite identiquement, quelle que soit la constante positive a.
L'exponentielle ax est donc la fonction la plus générale répondant à la condition imposée.
Remarquons que, si l'on fait m — 1 dans la relation (6), on trouve
Cette constante est, par suite, la valeur de la fonction pour
Limite de -7 > quand x croît indéfiniment.
ax W$7. Si Von fait croître x indéfiniment, le rapport — a
pour limite V infini quand a est > 1 , et zéro quand a est < 1 .
N'oublions pas que, lorsqu'on dit qu'un rapport a pour limite
Di C. - Court. 111. 26
4oa ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Yinfini, cela signifie simplement (338) qu'il peut croître de manière à surpasser toute quantité donnée.
i° Soit a > i.
x croissant indéfiniment, il en est de même de ax (478. 485).
a étant un nombre positif convenable, on peut toujours poser
a — i -+- oc, d'où a = a — ■ i ,
On a alors, par la formule du binôme, en donnant à x des valeurs entières et positives,
(i -h a)*^ i -h ira h **-h. . .,
c'est-à-dire, évidemment,
Remplaçons dans le premier membre i -r « par a et divisons tout par #. Nous aurons
ar* i ^ — i .
et, a fortiori,
à* .r — i , __ > ai.
Comme x — i croît, en même temps que x9 au delà de
... . ax
toute limite, on voit que — va constamment en augmentant
à mesure qu'on fait croître x, supposé entier et positif, et que, pour x =i oc, on a
lim — — oo.
Si l'on veut, par exemple, avoir
il suffit de satisfaire à l'inégalité x — i
c'est-à-dire, « étant a — i, de donner à x une valeur entière égale ou supérieure à
Nous avons supposé x entier et positif; admettons qu'il devienne fractionnaire ou incommensurable, en restant positif.
Dans cette hypothèse, x croissant tombera toujours, à un instant quelconque, entre deux entiers consécutifs p et p -+■ i , qui croîtront en même temps que lui.
Mais, si Ton a
on a aussi, nécessairement (485),
aP<ax<ar+i et, a fortiori,
JT~i < x < p ;
ce qu'on peut écrire
i aP^ ax aP < — <a — .
p étant entier et croissant indéfiniment, les deux quantités extrêmes croîtront sans limites, comme on vient de l'établir. Il en sera donc de même de la quantité intermédiaire.
2° Soie a<i.
A mesure que x augmente, ax diminue indéfiniment et a
pour limite zéro (478, 485). Il en est donc de même, a for-
lion, du rapport —
Étude dea variations de la fonction a*.
488. Nous allons chercher la série des valeurs prises par la fonction continue y = ax, quand on fait parcourir à la variable x toute l'échelle des grandeurs réelles, depuis — oo
jusqu'à 4- oo.
\o/\ ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
i° Soit ÛT> I.
On sait que la fonction reste positive et va constamment en croissant avec la variable (478, 481, 485). Pour x=z — oo, on a, évidemment,
lim y — lima—°= hm — =o.
Pour x = o, on a (Alg. élém., 42)
yr=a°=i.
Pour x —- -h oo, on a
lim/ — lima"" ce.
y croissant constamment avec x, chaque valeur de la fonction ne se présente qu'une fois. Lorsque la variable parcourt toute réchelle des grandeurs réelles, la fonction parcourt toute l'échelle des grandeurs positives. Lorsque la variable varie de — oo à o, c'est-à-dire reste négative, la fonction prend toutes les valeurs positives de o à i ou moindres que i; et. lorsque la variable varie de o à -h oo, c'est-à-dire reste positive, la fonction prend toutes les valeurs positives de i à oo ou plus grandes que i.
a0 Soit a < i .
On sait que la fonction reste positive et va constamment en diminuant, à mesure que la variable croit (478, 481, 485). Pour x ~ — oo, on a, évidemment,
hmy - lima— °r- iun — = ~ oc.
Pour x =: o, on a
Pour x— i- oo, on a
lim/^i lima" - o.
/ diminuant constamment avec .r, chaque valeur de la fonction ne se présente qu'une fois. La fonction parcourt encore toute l'échelle des grandeurs positives pendant que la variable parcourt toute l'échelle des grandeurs réelles, mais en sens inverse. En d'autres termes, la fonction prend toutes les valeurs positives de oo à i ou plus grandes que i, lorsque la
variable varie de — oo à o, c'est-à-dire reste négative; et elle prend toutes les valeurs positives de i à o ou moindres que i, lorsque la variable varie de o à -+-00, c'est-à-dire reste positive.
489. Cette discussion peut être utilement résumée dans le Tableau suivant et représentée par un tracé graphique correspondant (Jig. i), sur l'exécution duquel nous n'avons pas à insister après les détails donnés à ce sujet en Algèbre élémentaire (Alg. élém., 312 et suiv.) :
— oc
croît
o croît
-H oo
croît
croît
croît
o croît
décroît
décroît
Fig. i.
La courbe qui s'élève à droite de la figure correspond à a > i; celle qui s'élève à gauche, à a < i. Ces deux courbes se coupent au point K situé sur l'axe des y et tel que 0K= i , puisqu'elles présentent toutes deux une ordonnée égale à j
{06 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
pour x — o. Elles ont l'axe des x pour asymptote commune. Pour la première courbe, c'est la partie négative de cet axe qui est asymptote; pour la seconde courbe, c'est sa partie positive. En effet, lorsque aest>i,ona/ = o pour x = — «; et, lorsque a est <i, on a y = o pour ^-— + 00. Nous avons
a* vu (WJ7) que, dans le cas de a>i, la limite du rapport —
ou — est égale à l'infini, lorsque x croît indéfiniment. L'or-
donnée de la première courbe croit donc beaucoup plus rapidement que son abscisse. Au contraire, dans le cas de a<i,
ax y la limite du rapport — ou — est égale à zéro, lorsque x croît x x
indéfiniment, et c'est l'abscisse de la seconde courbe qui croil
beaucoup plus rapidement que son ordonnée ne décroit.
