THÉORIE DES LOGARITHMES CONSIDÉRÉS COMME EXPOSANTS
Définition des logarithmes algébriques.
490. Nous avons déjà présenté, avec le plus grand soin et avec tous les détails nécessaires pour l'application, la théorie élémentaire des logarithmes (Alg. élém., Livre IV, Chap. II). Nous avons alors pris, pour fondement de notre théorie, le point de vue môme de l'inventeur (Nbpkr), c'est-à-dire la comparaison facile à établir entre une progression par quotient et une progression par différence où se correspondent les termes i et o.
En nous servant des propriétés de la fonction exponentielle, nous pouvons adopter une nouvelle définition qui offre de grands avantages.
491. Cette définition est la suivante : le logarithme d'un nombre est V exposant de la puissance à laquelle il faut élever un nombre constant et positif, appelé base, pour reproduire le nombre donné.
Si la base est a et si b représente le nombre donné, le logarithme x de ce nombre sera déterminé par l'équation (Alg. élém.,3n)
et Ton écrira
x — \ogab\
ce qu'on doit lire : x égale le logarithme de b, lorsque la base choisie est a.
Il résulte immédiatement de l'élude que nous venons de faire (488, 489) des variations de la fonction exponentielle ax
4o8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
que tous les nombres positif s ont des logarithmes positif s ou négatifs, tandis que les nombres négatifs n'en ont pas , ou plutôt n'en ont pas de réels.
Si a est > i , ce sont les nombres plus grands que i qui ont des logarithmes positifs, et les nombres plus petits que if des logarithmes négatifs. C'est l'inverse lorsque a est < i.
Quand a est > i, les logarithmes croissent en même temps que les nombres correspondants. C'est l'inverse quand a est <C i, les plus grands nombres ayant alors les plus petits logarithmes.
Pour chaque valeur de la variable x9 la fonction ax n'a qu'une seule valeur. Donc, lorsque deux nombres sont égaux, leurs logarithmes le sont aussi, et réciproquement.
M2. L'ensemble des logarithmes des différents nombres positifs pris dans une certaine base constitue un système de logarithmes.
Quand la base change, tous les logarithmes changent.
Il y a donc une infinité de systèmes de logarithmes, distingués entre eux par leur base; mais tous jouissent de propriétés générales fort importantes, que nous connaissons déjà, et que nous allons démontrer en faisant usage de la nouvelle définition adoptée.
Propriétés générales des logarithmes algébriques.
W3. I. Le logarithme d'un produit de plusieurs facteurs est égal à la somme des logarithmes des facteurs.
La base étant a, supposons
ax — b, c'est-à-dire x = iogab, ar'-.b', » a-' = logub',
a*~b\ » x"—\ogab\
Multiplions membre à membre les premières égalités. Nous aurons (4S5, 150)
OU
x + x'+arm= \oga(bb'bp).
Il en résulte immédiatement, d'après les secondes égalités (en supprimant l'indice a, qui est inutile, puisque nous ne
considérons qu'une seule base ou que tous les logarithmes sont pris dans le môme système, et en renversant les deux membres),
\og(bb'b") = \ogb -h log&' -h log£\
494. IL Le logarithme d'un quotient est égal à la différence des logarithmes du dividende et du diviseur.
Cette proposition découle immédiatement de la précédente, puisque le dividende est le produit du diviseur par le quotient.
Pour la démontrer directement, supposons
ax = b, c'est-à-dire x = log£, «*'=&', » #'=log&'.
Divisons membre à membre les premières égalités. Nous aurons (485, 150)
'-*' = log(|,)-
Il en résulte, d'après les secondes égalités et en renversant tes deux membres,
log(j,j = log&-log£'.
495. III. Le logarithme d'une puissance est égal au produit du logarithme du nombre élevé à la puissance par V exposant de cette puissance.
Supposons
ax -- b, c'est-à-dire x = iog b.
m étant une quantité réelle quelconque, élevons à la puissance m les deux membres de la première égalité. Nous aurons (485, 150)
amx-=am ou mx — \Ogbm.
Il en résulte, d'après la seconde égalité et en renversant les
deux membres,
logbm— mlogb.
Soit, en particulier, /n=. -> p étant un entier positif. Il
jIU ALGEBRE SUPÉRIEURE.
viendra alors (HO)
Le logarithme d'un radical est donc e^rt/ fl« logarithme de la quantité placée sous le radical, divisé par l'indice de ce radical.
