IV. Dans tout système de logarithmes, le logarithme
de la base est i, le logarithme de i est o, le logarithme deo est =p oo et le logarithme de V infini est àz oo.
En effet, si, dans la relation a*= b qui définit le système de logarithmes adopté, on donne successivement à b les valeurs a. i, o, oo, on trouve successivement (488, 4-89)
ax — a y
'est
-à -dire
J" = logtf = I,
.r = logi =o,
afz= o,
* = logo = q:
x = logoo = ±
est >i ou<i.
497. On donne aux logarithmes, tels que nous les avons considérés en Algèbre élémentaire, le nom te logarithmes arithmétiques, pour les distinguer des logarithmes algébriques.
On voit que les propriétés des logarithmes arithmétiques et des logarithmes algébriques sont absolument les mêmes.
On se servira donc des logarithmes algébriques comme des logarithmes arithmétiques, pour simplifier les opérations numériques, en ramenant les opérations les plus compliquées aux opérations les plus simples, comme il a été indiqué précédemment (Alg. étém., 355).
Il suffit, pour cela, de construire des Tables, dites Tables de logarithmes. Nous sommes entré, au sujet de la construction et de V usage des Tables, dans les détails les plus circonstanciés (voir Alg. élém., 358 à 374, et Trigonom., 119 à 136). Nous y renverrons donc le lecteur.
Nous démontrerons seulement ici la parfaite identité, non seulement quant aux propriétés, mais en eux-mêmes, des logarithmes arithmétiques et des logarithmes algébriques. Les
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 4fi
mêmes Tables peuvent ainsi servir, quel que soit le point de vue adopté.
Identité des logarithmes arithmétiques et des logarithmes algébriques.
498. I. Partons d'abord du point de vue arithmétique et considérons deux progressions, Tune par quotient, l'autre par différence, où se correspondent les termes i et o. Les nombres inscrits dans la progression par quotient ont alors pour logarithmes les termes correspondants de la progression par différence.
Ainsi, les deux progressions étant
:-: i :<? :</*: tf3:...:?m:...,
:o.r.2/'.3r mr. . . .,
4a définition élémentaire {Alg. élém., W7) donne pour logarithme, au nombre qm de la progression par quotient, le terme correspondant mr de la progression par différence. Posons
(i) mr — y.
Nous aurons, arithmétiquement parlant,
(2) \ogqm—y.
Mais, de (1), on déduit m = 2, et Von a, par suite,
On voit par là que, y étant le logarithme arithmétique
de qm, il faut, pour reproduire qm, élever précisément le
nombre constant qr a la puissance y .
Il y a par suite identité entre les logarithmes arithmétiques et les logarithmes algébriques (4-91).
La base du système se reconnaît, dans les deux cas (496 et Alg. élém., 356), à ce que son logarithme est égal à l'unité.
\t\9qr est la base do système des logarithmes arithmétiques, comme elle est celle du système des logarithmes algébriques;
car, au point de vue arithmétique, le logarithme de qr esi
4-99. II. Parlons maintenant du point de vue algébrique. On peut toujours considérer des nombres en progression par quotient tels, que
H a : aq : aq1 : aq* : ... : agn
Les logarithmes algébriques de ces nombres forment évidemment (4-93, Wô) une progression arithmétique correspondante
-. loga.(log<7 4- log<7).(loga t- 2 log<7).(loga -+- 3 log?) (loga -1- m\o%q)
Quand des nombres forment une progression par quotient, leurs logarithmes algébriques forment donc une progression par différence.
Si Ton suppose log</ -— /• et a = 1, c'est-à-dire loga = o, les deux progressions deviennent
: : 1 : q : gt : q* : . . : gm :
; o . r . ar.3/' mr
et Ton est ramené complètement à la définition des logarithmes arithmétiques (498).
Il y a par suite identité réciprogue entre les logarithme* algébrigues et les logarithmes arithmétiques.
Des différents systèmes de logarithmes.
500. Théorème fondamental. -- Le rapport des logarithmes d'un même nombre reste constant, lorsqu'on passe, en faisant varier la base, d'un système de logarithmes à un autre.
Il résulte de celte remarquable propriété que, une Table de logarithmes étant construite dans un certain système, on obtiendra la Table répondant à tout autre système en multipliant simplement les logarithmes insérés dans la prière Table par un facteur constant.
Soient deux systèmes de logarithmes, le premier rapporté à la base a, le second à la base À. Considérons un même nombre b, et désignons par x et par x' ses logarithmes dans les deux systèmes. Nous aurons, par définition (Wl),
ax—b et A**-^ c'est-à-dire
Prenons les logarithmes des deux membres de celte égalité, d'abord dans le système dont la base est a, ensuite dans le système dont la base est A, en nous rappelant que, dans toui système, le logarithme de la base est i (W6). Il viendra (495)
X l0ga a r- X' l0ga A
xlogAa-J?']ogAA On en déduit
ou
X ~ #'logaA,
ou
x\o%ka — x'.
ou
— ^logAa.
x loga A
Ainsi, le rapport des deux logarithmes x1 et x demeure bien constant, quel que soit le nombre considéré b.
Ce rapport constant est appelé le module relatif du système A par rapport au système a. C'est le nombre par lequel il faut multiplier tous les logarithmes du système a, regardé comme ancien système, pour avoir tous les logarithmes du système A, regardé comme nouveau système.
En résumé, le module relatif a pour expression l'inverse du logarithme de la nouvelle base pris dans l'ancien système ou le logarithme de l'ancienne base pris dans le nouveau système. L'expression pratique est, évidemment, la première.
On représente, en général, par M le module relatif. Nous aurons donc ici, pour les bases a et A,
logtfA bA
On voit que, si Ton connaît A, on peut déduire immédiatement le système À du système a. La base d'un système suffit donc pour le définir.
501. Il est facile de vérifier, a posteriori, l'identité qu'on vient d'obtenir, c'est-à-dire
= logA" ou logAa.logaA = K
log«A
Posons, en effet,
logA" = v, logaA = ^.
Il faut prouver qu'on a yz = i.
Lia première égalité signifie que, pour avoir a, il faul
élever la base A du second système à la puissance y (Wl).
On a donc
La seconde égalité revient de même à
az— A.
En élevant à la puissance y les deux membres de cette dernière relation, on trouve
c'est-à-dire, nécessairement, yz = i (W6).
502. Soient les deux nombres quelconques N et N;. D'après ce qu'on vient de démontrer (500), on a, en prenant leurs logarithmes dans les systèmes de base a et de base A,
log.N loggN' logAN-logxN''
relation qu'on peut écrire (Alg* élém.y 67)
JogaN logAN log^-logAlN'"
Le rapport des logarithmes de deux nombres quelconques reste donc constant, quand ort passe d'un système à un autre.
C'est une autre forme du théorème fondamental établi au n° 500(^1/^. «'«m., 357).
Des logarithmes népériens on hyperboliques.
503. Le premier système qui fut employé par Neper a reçu le nom de système naturel ou, mieux, de système népérien.
On lui donne encore le nom de système hyperbolique, à cause du rapport intime qui existe entre les logarithmes correspondants et la mesure des aires hyperboliques (voir Géom. anal.y t. V).
Neper, en considérant les logarithmes arithmétiques, partait de ces deux progressions {Alg. élém.f 3V7 et suiv.) :
Pour introduire autant de nombres que possible dans la progression par quotient, il faisait tendre a vers zéro, et il en était alors de même de (3; car, si (n- a) a pour logarithme (3 dans un certain système de base plus grande que i et si i + a diminue, il en est de même de (3 (4.81). Mais, quelque petits que soient les accroissements simultanés a et (3 des termes i et o à l'origine, on conçoit qu'on puisse néanmoins établir entre eux un certain rapport, d'ailleurs complètement arbitraire, et poser
fx sera le module du système de logarithmes constitué par les deux progressions considérées; et, en faisant varier jx, on fera varier ce système lui-même.
Neper choisit la relation la plus simple, en prenant (3 = a ou le module fx égal à i .
Son système de logarithmes se trouva ainsi représenté par les deux progressions
; o . a . 2a . 3a ma
5M. Cherchons, d'après cela, la base du système des logarithmes népériens.
Cette base est le nombre qui a pour logarithme l'unité.
4l6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE*
Si Ton suppose que l'unité fasse partie de la progression
par différence (503), la réponse est immédiate. j
Soit |
m ol = i , d'où m — - •
La base sera
(i + a)'w, c'est-à-dire (i-f-a)*.
Mais, d'après ce qui précède (503), a doit être regardé comme une quantité qui tend indéfiniment vers zéro. Par suite, la base du système népérien tend autant qu'on veut
vers la limite de (i -+- a)a pour a -~ o, c'est-à-dire (M6) vers le nombre e.
Si l'on suppose que l'unité ne fasse pas partie de la progression par différence (503), elle tombera du moins entre deux termes consécutifs de cette progression, et l'on aura, par exemple,
moL < i < {m -h i)a.
En désignant par x la base du système des logarithmes népériens, on aura en même temps (kSi)
Mais, d'après les premières inégalités, on a alors
c'est-à-dire a fortiori, en revenant aux secondes inégalités,
Or, pour faire tendre a vers zéro, il faut évidemment faire tendre m vers l'infini; et, alors, comme on l'a vu précédemment (4-13), les deux quantités qui comprennent x ont pour limite commune le nombre <?.
On parvient donc au même résultat.
505. On indique, en général, les logarithmes népériens par la notation L ou /; et les logarithmes vulgaires, dont la base est 10 {Alg. élém., 358), par la notation log.
506. On peut facilement passer des logarithmes népériens aux logarithmes vulgaires, et réciproquement.
Le module relatif M, qui permet le premier passage, a pour valeur (500)
M=: -. = loge — o,43429 448i9o325i
.Lj • IO
Le module relatif Ml9 qui permet au contraire de revenir des logarithmes vulgaires aux logarithmes népériens, a pour valeur
Mt= : --^L.io^ 2 , 3oa58 50929 94o45
Ainsi,
de /N = k, on déduit logN = /: loge
et,
A loge
de logNx = kx on déduit /Ni = j^ .
Fonction logarithmiqne.
