Si Ton considère la fonction exponentielle
x = aY,
où x et a sont des nombres positifs et où y peut être positif ou négatif (488, 489), et si l'on prend les logarithmes des deux membres dans le système dont la base est a, en se souvenant que le logarithme de la base est toujours 1 (496), on a
y = loga&.
/est la fonction logarithmique, inverse de la fonction exponentielle x (441, 444).
508. Pour étudier les variations de la fonction logarithmique, on distinguera toujours les deux cas de a > i et de
i° Soit a>i.
y étant le logarithme du nombre xf on sait que la fonction y et la variable x croissent simultanément (491). En se reportant à l'étude des variations de la fonction exponentielle et en
De C. — Cour», III. 27
4l8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
faisant varier la variable x de o à -+- <x>, on a (488, 489, 496)
Pour.r = o, / = logo = — oo; Pourj? = i, x = logi =:o;
Pour x = co, y = log oo = -+- oo.
2° Soi* a <C i .
Dans cette hypothèse, la fonction y diminue quand la variable x augmente (491). On a
Pour# = o, j = logo =-f-oo; Pourj? = i, r=:logi =o; Pour x — oo, y = logoo =. — ».
509. Cette discussion peut être résumée dans le Tableau suivant et représentée par un tracé graphique correspondant {flg. 2).
(.r = iog«^.)
croît
croît
oo
croît
o croît
o croit
croît
jr>
décroît.
o décroît
Fig.
Une remarque est nécessaire. Les Tableaux des nM W9
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 4*9
et 509 devraient être identiques, ainsi que les fig. i et 2 qui les représentent graphiquement, puisque, lorsqu'on considère deux fonctions inverses (441, 444), la relation entre les variables x et y reste toujours la même. Mais l'équation exponentielle étudiée au n° 4-89 est y = ax, tandis que celle adoptée au n° 509 est x — ay.
On a ainsi, en réalité, permuté x et y, et les résultats indiqués au n° 509 doivent présenter la même permutation relativement à ceux du n° 489. C'est ce qui a lieu, évidemment, pour les deux Tableaux et pour les deux figures.
Recherche de quelques limites.
510. Nous terminerons par la recherche de quelques limites, utiles à connaître, et qu'on peut trouver directement et simplement en s'appuyant sur les propriétés précédentes.
lo&r x
