I. Quand x croit indéfiniment, le rapport — ^— dimi

nue ou croit, en tendant toujours indéfiniment vers zéro, suivant que a est plus grand ou plus petit que 1.

Pour x = 00, le rapport considéré prend la forme indéterminée db — (4-96). Nous allons lever cette indétermination

(Alg. élém., 119).

Si le nombre x &y pour logarithme dans le système dont la base est a, on a, par définition (4-91),

x — a* et = — •

x ay

1* Soit a>i.

x et y croissent ensemble indéfiniment (491, 496). Mais,

ax d'après la limite trouvée pour le rapport — , quand x, positif,

croît indéfiniment (487), on voit immédiatement que le rapport inverse -ou^- décroît et tend indéfiniment vers zéro, ax ay '

lorsque x ou y croît indéfiniment. Il en est donc de même du rapport -^^-

2° Soit a < I .

Pour que x croisse indéfiniment, il faut que y soit négatif et croisse indéfiniment en valeur absolue (509). Posons donc

<* = -, (*'>0 et y =—f (/>o). On a alors

a?~ ( iW "" a'f'

D'après ce qu'on vient de dire (i°), le rapport positif -^ diminue et tend indéfiniment vers zéro, quand y1 croît indéfini-

r' ment. Le rapport négatif — ^p croîtra donc, en tendant éga-

lofif x

lement vers zéro, et il en sera de même du rapport &" •

512. II. Quand x croit indéfiniment, la limite de V exprèss ion x* est V unité.

Pour x = oo, l'expression proposée prend la forme indéterminée oo°. Nous allons lever cette indétermination.

Si Ton prend le logarithme de x* dans le système dont la

base est a, on a (495) !

loga** = ilog.* = !2Ç£.

La limite de ce logarithme sera donc zéro (511), quand x croîtra indéfiniment.

Mais, si la limite du logarithme de x* est zéro, c'est que la limite de cette expression, pour a? = oo, est elle-même l'unité (496).

513. III. Quand x tend indéfiniment vers zéro, la limite de l'expression xx est l'unité.

Pour x = o} cette expression prend la forme indéterminée o°. Nous allons lever cette indétermination.

Posons

jc tendant vers zéro, y = — croîtra indéfiniment. On a d'ail-

leurs, en élevant à la puissance x les deux membres de la

relation précédente,

Mais, d'après ce qu'on vient de voir (512), la limite de/^, quand y croît indéfiniment, est égale à l'unité. Il en est donc de même de celle de x*.