Réciproquement, lorsque f(x) est une fonction con
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tinue, on démontre que la dérivée f'(x) est, en général, ellemême une fonction continue, sauf pour des valeurs toutes spéciales de la variable x, pour lesquelles elle peut devenir infinie, indéterminée ou discontinue. Ces valeurs spéciales de x correspondent à leur tour à des directions particulières de la tangente à la courbe y=f(x).
Nous laissons de côté cette démonstration, longue et délicate, que les faits vérifient constamment.
Théorèmes généraux.
538. I. Une quantité constante, c'est-à-dire indépendante de x, a une dérivée constamment nulle, puisque, quel que soit l'accroissement h donné à la variable x, l'accroissement correspondant k de la fonction n'existe pas.
Mais il n'est pas évident que toute fonction dont la dérivée est constamment nulle se réduise à une constante.
Pour établir cette importante réciproque, nous démontrerons d'abord le théorème suivant :
539. II. Le rapport des accroissements simultanés et finis H et K de x et de y, dans un intervalle où la fonction y =f(x) est continue et où sa dérivée conserve des valeurs déterminées , est une moyenne entre toutes les valeurs prises par la dérivée f'(x)i lorsque la variable parcourt l'étendue renfermée entre ses valeurs extrêmes x et x -+- H.
Si nous donnons à x, en restant dans l'intervalle considéré, un accroissement fini H, il en résultera pour^ un accroissement également fini K (458).
Nous pourrons alors faire passer la variable de sa première valeur x à sa dernière x -+- H par une suite d'accroissements de même signe hu ht, hl9 . . . , hn. Les accroissements correspondants de la fonction y seront ku ku kt} . . ., kn. Nous aurons donc]
H = A1H-AîH-àJH-...H-A/l, K = Aj-f- *,-h *8 + . . .4- ka.
D'après un théorème connu (349), il en résulte
K__ki+ki+kt + ...+ kn m /*, *, k% kn\
et cette égalité reste vraie, quelque grand que soit n. Mais,
quand n croît indéfiniment, les éléments hl9 h» /*3, /*,
tendent vers zéro, et les rapports ~> -=^> ~> • • •* — tendent
ht ht hz hn
eux-mêmes, autant qu'on veut, vers les valeurs prises succès* sivement par la dérivée f'(x), pendant que x parcourt d'une manière continue l'étendue renfermée entre x et x -h H. On peut donc écrire à la limite, en employant une notation expressive,
(0 ïî = moy/' (•*•)•
540. III. Toute fonction dont la dérivée est constamment nulle se réduit nécessairement à une constante.
Supposons, en effet, en nous reportant au théorème que nous venons d'établir (Î539), que la dérivée f'(x) soit constamment nulle dans l'étendue considérée. Tous les rapports
T~' JTy TT* '"' ~T auroni al°rs respectivement zéro pour limite. Il en sera donc de même de leur moyenne; et, comme cette moyenne est une quantité constante, elle sera rigoureusement nulle. Il résulte, par conséquent, de l'équation (î) du n° 539 que l'accroissement K de la fonction sera aussi constamment nul pour l'étendue considérée ou pour toute partie de l'intervalle proposé, c'est-à-dire que, dans cet intervalle, la fonction y—f(x) se trouvera réduite à une constante.
Graphiquement, on voit que la fonction
y — const.
est représentée par une droite parallèle à l'axe Ox, et que
les rapports jr> -r> j*' '' m> ir sont rigoureusement nuls.
541. Si tous les rapports y^-y -r?> -r^> • • •> ~ tendaient vers
h\ /«i h* hn
l'infini, leurs rapports inverses jr> -tt> -r> •- •> jr tendraient
vers zéro.
D'après ce que nous avons dit des fonctions inverses (444), il est évident que, dans ce cas, c'est la fonction x (y étant regardée comme variable indépendante) qui devient une con
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stante, et qu'elle est représentée graphiquement par une droite parallèle à Taxe 0/. Les rapports ~> -tt> tt> • ••> tt
A- k sont alors rigoureusement nuls, et les rapports j1) -?!>
-ï-8 > • •> t^ rigoureusement infinis.
542. D'après ce qu'on vient de voir (540, 541), si le lieu de l'équation y =/(a?), supposé réel et continu dans un certain intervalle, ne renferme aucune portion de droite parallèle à
Fun des axes, le rapport t aura nécessairement une limite
finie différente de zéro quand h tendra vers zéro, et les deux infiniment petits h et k seront du même ordre, sauf peutêtre pour certaines valeurs particulières de la variable.
Les cas exceptionnels où Ton aura lim t=oou lim j = oo
correspondront précisément, comme on le verra plus tard (Géom. anal., t. V), les axes coordonnés étant rectangulaires ou, plus généralement, rectilignes, aux points où la tangente à la courbe qui représente y =/(# ) se trouve parallèle à l'un ou à l'autre axe.
543. IV. Lorsque deux fonctions f (x), F(x) ne diffèrent que par une constante, pour les valeurs de x comprises dans un intervalle donné ou elles sont continues, leurs dérivées sont égales pour ces mêmes valeurs de x.
Réciproquement, si les dérivées f'(x), ¥'(x) de deux fonctions f(x), ¥(x) sont égales entre elles pour les valeurs de x comprises dans un intervalle donné où elles sont continues, ces fonctions ne peuvent différer que par une constante pour ces mêmes valeurs de x.
Soit, en effet, d'une manière générale, y(x) la différence des deux fonctions considérées. De la relation
qui a lieu pour toute valeur de x comprise dans l'intervalle proposé, on déduit, en donnant à la variable l'accroissement h,
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Il en résulte évidemment, en retranchant l'égalité (i) de l'égalité (2) et en divisant ensuite par A les deux membres de l'égalité résultante,
En faisant tendre maintenant A vers zéro, on a, à la limite (534),
Si <p(#) est une constante, on a <?'(x) = 0 (538), et l'égalité (3) donne
Réciproquement, si Ton a f'(x)=iF,(x), l'égalité (3) donne
et Ton a y(x) == const. (540).
544. Remarque. — Nous terminerons ces généralités par une remarque qui n'est pas sans intérêt :
Si la dérivée de la fonction yz=f(x) est continue dans un certain intervalle comme la fonction elle-même, le signe qu'on donne à V accroissement h de la variable à partir d'une valeur de x comprise dans l'intervalle et telle que x 4- h et x — A y soient aussi renfermées n'influe pas sur la valeur que prend f (x) pour la valeur attribuée à x.
Donnons à A une valeur positive et soit lim £==/'(*).
Soit, maintenant, kx l'accroissement pris par la fonction y
quand on donne à x l'accroissement — A. Il faut trouver la
limite de — 7- • — n
Or, si, en partant de x— A, on donne à la variable l'accroissement A, on retombe sur x. Comme on retombe alors aussi sur y, il faut que la valeur de la fonction qui correspond à x — A croisse en même temps de — klm On a donc, à la fois,
lim jt =f(x) et lim ^ =* lim -^ = f(x - A).
Mais, par hypothèse, la fonction dérivée restant continue
dans l'intervalle considéré, /'( x — h) et f(x) diffèrent d'une
quantité infiniment petite, si h est infiniment petit. Par
suite (530), f\x) peut être regardée aussi bien comme la
limite de -jt que comme celle de t •
Définition de la différentielle.
545. L'accroissement, positif ou négatif, d'une variable quelconque, indépendante ou non, est appelée la différence de cette variable; et on le désigne, en général, par la caractéristique A suivie de la lettre qui figure la variable.
Ainsi, les accroissements ou les différences des variables &9y>z> • • • seront représentées par
A.r, ày, As, ....
Nous avons dit précédemment (534) que les fonctions /(x), F(x), <p(ar), . . . ont, pour notations de leurs dérivées,
ou, encore,
Vf(x), DF(*), »?(*), ..-,
ou, d'une manière générale, y étant la fonction de x dont il s'agit,
Dr.
Gela posé, d'après la notation des différences et la définition des dérivées (534), on peut écrire, pour toute fonction y = f(x), et bkX tendant vers zéro,
limË=//(*r) = D/(^) = D/-
Par conséquent, avant d'arriver à la limite qui conduit à la dérivée, c'est-à-dire avant de supposer A# infiniment petit ou aussi proche de zéro qu'on voudra, on aura, en désignant par a une certaine quantité, fonction de x et de \xf tendant vers zéro en même temps que lx,
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et
(2) &y = f (x) Ix -h a Ax.
C'est là une relation très importante et très utile.
