Admettons à présent qu'on fasse tendre Aa? vers zéro

La relation (2) (545) montre que l'accroissement infiniment petit d'une fonction continue quelconque peut être regardé comme composé de deux parties

f'(x) &x et a Aj?.

Comme /'(#) est supposée avoir une valeur finie différente de zéro et bien déterminée, si l'on prend \x comme infiniment principal, la première partie est un infiniment petit du premier ordre et la deuxième partie est un infiniment petit d'ordre supérieur (521, 20).

Or, d'après le principe fondamental de la méthode infinitésimale (530), les limites de rapports ou de sommes d'infiniment petits ne sont pas modifiées lorsqu'on remplace ces infiniment petits par d'autres qui en diffèrent respectivement de quantités infiniment petites par rapport à eux-mêmes. 11 en résulte que, toutes les fois que A/ entrera dans un calcul comme terme d'un rapport ou d'une somme d'infiniment petits dont on cherche la limite, on aura le droit de le remplacer

par

f'(x)\xt

c'est-à-dire de lui substituer le produit de la dérivée de la fonction y par l'accroissement infiniment petit de la variable indépendante.

5W. On donne le nom de différentielles à ces quantités plus simples que l'on peut substituer aux différences infiniment petites des fonctions.

Elles sont évidemment plus simples, puisqu'on néglige dans ces différences, sans aucun inconvénient relativement à la recherche que l'on poursuit, le terme a Ax, en général extrêmement compliqué. Et ce sont, en réalité, les plus simples possibles, puisqu'elles sont le produit du facteur \x qu'on ne peut évidemment supprimer par une fonction où ce facteur n'entre pas.

Les différentielles, quantités infiniment petites substituées

aux différences infiniment petites des fondions dans les cas indiqués, sont désignées par la caractéristique d, substituée elle-même à la caractéristique A.

On a ainsi

(3) dy = f'(x)Ax ou

Par conséquent, le rapport de la différentielle dy à Vaccroissement A.r de la variable est égala la dérivée de lafonction y~j\x) ou à la limite du rapport de la différence ày de la fonction à ce môme accroissement A.r.

C'est ainsi que la recherche des différentielles et des dérivées ne forme qu'une seule et même question.

548. Supposons que la fonction/ soit la variable x ellemême, c'est-à-dire qu'on ait

ou la plus simple de toutes les fonctions. On aura alors constamment

AjzzzA*, /'(*) = i, dy = àx (5W).

La différentielle de y ou celle de x est donc, dans ce cas, identique à àx, et Ton a alors

dx = &x.

[Si l'on avait

on aurait constamment

Ajk = — àœ9 f'(œ)=i— i, dy = —àa?t

et la différentielle de y serait identique à — Aa?].

Comme il est naturel d'employer une seule caractéristique quand cela est possible, nous conviendrons, toutes les fois que nous aurons à prendre la différentielle d'une fonction de x, de représenter par dx l'accroissement arbitraire (mais infiniment petit) de x. Mais, lorsqu'il s'agira des accroisse-

448 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

ments exacts ou des différences des fonctions désignées par la caractéristique A, nous représenterons par A.r l'accroissement de x9 qui pourra être alors fini ou infiniment petit.