D'après cette convention, on aura (3 bis) dy = f(x)dx

et Ubis) £=//(j?)-

cty Et Ton voit que l'expression -j- peut être considérée indifféremment, soit comme le quotient de dy par dx9 soit comme un symbole représentant (545) la limite du rapport -r— •

Sous ce dernier point de vue, la formule (3 bis) peut encore s'écrire

La dérivée f'(x) étant, d'après la formule (3 bis), le quotient de la différentielle de la fonction parla différentielle de la variable, on lui a souvent donné le nom de rapport ou de coefficient différentiel de la fonction.

D'après cette même formule, la différentielle de la fonction étant le produit de sa dérivée par la différentielle de la variable, qui ne peut pas être nulle, les théorèmes généraux relatifs aux dérivées, qu'on a démontrés aux not 538, 540, 543, s* étendent immédiatement aux différentielles.

550. La différentielle est susceptible, comme la dérivée (535), d'une représentation géométrique.

Reprenons \* fîg. 5 (p. 439), et soit la courbe AHB qui représente la fonction y = f( x) rapportée aux deux axes Ox et 0/. On a (535)

UnglMN = lim~=lim^=/,(o7).

On a aussi

IN = MN tangIMN = f'(x) Hx = dy (547).

Nous voyons par là que la différence de la fonction, Aj = /-, étant représentée par M'N, sa différentielle dy est représentée par IN.

Ainsi, remplacer la différence par la différentielle revient, lorsqu'on cherche quel est l'accroissement de l'ordonnée pour un accroissement infiniment petit de l'abscisse en parlant du point M, à substituer, dans une étendue infiniment petite, à la courbe elle-même, sa tangente (525).

I"ig. 5.

Mi

551. L'avantage que peut présenter l'emploi des différentielles sur celui des dérivées, c'est que, dans la formule (3 £w)(5V9), dy et dx figurent absolument de la même manière.

y étant une fonction de x, l'une des différentielles dy et duest arbitraire, et leur rapport est égal à celui des accroissements infiniment petits que peuvent prendre simultanément les deux variables.

Or, d'après ce que nous avons dit des fonctions inverses (444), rien n'oblige de prendre pour variable indépendante Tune des deux variables plutôt que l'autre, quand il s'agit des différentielles, tandis que l'emploi des dérivées exige nécessairement qu'on ait fait un choix, la dérivée n'ayant un sens déterminé que lorsqu'on sait par rapport à quelle variable on la prend.

Si Ton part de la relation

dy— f\x) dx et si c'est x qui est la variable dépendante, si c'est x qui est

De C. — Cours. III. 29

regardée comme une fonction de y, on en déduit immédiatement

C'est dy qui reçoit alors une valeur arbitraire infiniment petite, et dx s'ensuit.

On comprendra tout à fait l'importance de cette remarque, lorsque nous parlerons plus loin des dérivées et des différentielles des fonctions inverses.

552. Nous terminerons ces notions fondamentales en observant qu'on peut avoir à considérer, dans une môme question, une variable indépendante x et plusieurs fonctions^» z, u, v, ... de cette variable.

Représentons par A/, As, Ai/, Ae, . . ., les accroissements pris par ces fonctions ou leurs différences pour un même accroissement ou une môme différence \x ou dx de x. Leurs différentielles dy, dz9 du, dv, . . ., seront toutes dans des rapporls constants avec dx et, par conséquent, les unes avec les autres, quand dx tendra vers zéro (54-9). Ces rapports constants sont d'ailleurs les limites des rapports des différences correspondantes, qui ne diffèrent alors des différentielles que de quantités infiniment petites par rapport à eliesmômes (5V7).

On a, par exemple,

, ^ du lu „ .

dy Ay *

et -T- est la dérivée de u par rapport à y, quelle que soit

d'ailleurs la variable commune à laquelle on ait rapporté les différentielles du et dy.

Si Ton a u=f(x) ely — ¥(x), on a aussi (5W)

du =/' (x) dx, dy = F'(x) dx, c'est-à-dire (i)

(2) U'U-F'(ar)

On peut donc énoncer cette proposition : La dérivée d'une variable u par rapport à une autre va-

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. fô\

riable y est égale au rapport des dérivées de u et de y prises relativement à une même variable quelconque a, dont elles sont regardées comme dépendantes.

553. Nous engageons le lecteur à bien s'assimiler avant tout les généralités qui précèdent. Ce n'est qu'à celte condition qu'il pourra étudier avec fruit les Chapitres qui suivent.

Nous allons, dans ces Chapitres, passer à la recherche pratique des dérivées et des différentielles, que les détails dans lesquels nous venons d'entrer nous permettront de ne plus séparer.

402 ALGEBRE SUPÉRIEURE.