TABLEAU DES DIX FONCTIONS SIMPLES

Fonctions algébriques.

( Somme y — a -4- x

iergroupe. „.„, J

° ' ( Différence y — a — x

i Produit j^ ax

a' «POUpe* j QuoUeal y=l

I Puissance y = xm Racine y — "\fx (m, nombre entier et positif.)

Fonctions transcendantes.

l Fonction exponentielle y=zax, y — ex

4e groupe. | Fonction logarithmique.. . . y = \ogux, r= L.r ( (a, nombre positif.)

( Fonction circulaire directe. y= sinx * p '( Fonction circulaire inverse. / = arcsin»r (Trigon., 44.)

558. Pour les fonctions trigonométriques, directes ou inverses, nous n'avons indiqué qu'un seul type; et il est clair qu'on pourrait regarder aussi, comme fonctions simples de <:elte espèce,

y—cosx, / = arccos.r, >— lang.r, y = arc tangue, —

Mais, en considérant le cercle de rayon i et en supposant

Tare moindre que -> la connaissance d'un seul rapport trigo-

nométrique de cet arc entraîne celle de tous les autres ( Trigon., 9). On peut, par suite, en partant du sinus, par exemple, ne voir dans les autres rapports que des fonctions dépendantes. Ainsi, l'on a

cos-r ~sm

sincT tans.r= :,

yi — sins,#

( x \ — y7! — sin*#,

559. Dans chaque fonction simple, sauf dans les deux premières, on peut remplacer la seule lettre x par une fonction simple. On obtient ainsi ce qu'on appelle une fonction de fonction. La même transformation peut être répétée plusieurs fois, de manière à conduire à des fonctions de fonctions. On superpose ainsi évidemment les opérations qui correspondenl aux fonctions simples.

Prenons la fonction produit y=zax et remplaçons x par Lx, nous aurons la fonction de fonction y=zaLx. Remplaçons de nouveau x par sina?, nous aurons la fonction defonctions j = aLsinj?. Dans le premier exemple, deux opérations se trouvent superposées; il y en a trois dans le deuxième exemple.

560. D'une manière générale, toute fonction qui dépend de plusieurs fonctions de x est une fonction composée.

C'est le cas ordinaire des fonctions explicites (449), où les opérations à effectuer sur la variable pour calculer la fonction sont directement indiquées.

561. On peut trouver facilement, bien qu'un peu longuement, les dérivées des dix fonctions simples et, par suite, leurs différentielles, en suivant une marche parfaitement uniforme, que nous indiquerons ici immédiatement.

Soit la fonction

Il suffit de donner à x un certain accroissement Aa\ Il en résulte pour y un accroissement Aj, et l'équation (1) devient

(2) y h- Ay=zf(x -h bx).

On a alors, en retranchant (1) de (2),

et, en divisant par Aj?,

,3, A/ f(x-hïx) —f(x)

(ô) Ai?"" A*

Si l'on fait tendre maintenant Ax indéfiniment vers zéro

dans le second membre de la relation (3), ce second membre

Av tend lui-même indéfiniment vers la limite de -g- pour Ar in-

Animent petit, c'est-à-dire vers la dérivée /'(#) que Ton cherche.

Une fois qu'on connaît l'expression de la dérivée /'(#), on a la différentielle dy par la relation fondamentale (5i9)

dy =z /' (x) dx.

562. Dès que Ton connaît les dérivées et les différentielles des dix fonctions simples, on peut passer à celles des fonctions de fonctions et des fonctions composées qui en dépendent nécessairement, en établissant certains théorèmes généraux.

Mais il est plus simple et beaucoup plus rapide de suivre la marche inverse.

Nous commencerons donc par démontrer les principes ù l'aide desquels on peut ramener la détermination des dérivées et des différentielles de toutes les fonctions à celle des dérivées et des différentielles des dix fonctions simples; et nous nous occuperons ensuite des fonctions simples elles-mêmes. La question se trouvera d'ailleurs résolue pour quelques-unes d'entre elles, par suite de nos premières recherches.