Soit la fonction (0 j

Admettons qu'en la résolvant par rapport à x, on en déduise

Les fonctions indiquées par les signes / et 9 sont, comme nous l'avons déjà dit (444), des fonctions inverses l'une de Vautre.

Comme les équations (1) et (2) sont la même équation sous deux formes différentes, elles donneront toutes deux les mêmes accroissements correspondants pour les variables x et/. En d'autres termes, si l'accroissement A# conduit dans la première équation à l'accroissement Aj, l'accroissement Aj* conduira nécessairement dans la seconde équation à l'accroissement A.r.

Cela posé, on aura (534)

nm *L -

/' (^) = lim -^ -= lim -e- =

àx àx .. A.T

A/ Ay

On arrive donc à cette proposition importante (551), connue sous le nom de théorème des fonctions inverses.

Quand deux fonctions sont inverses au point de vue algébrique, leurs dérivées sont inverses au point de vue arithmétique.

Supposons qu'on sache trouver la dérivée de la fonction 9 (y) et qu'on ne connaisse pas encore la dérivée de la fonction /(a?). Il suffira, pour obtenir f'(x), de prendre l'inverse -y- — de y' {y) et d'y remplacer/ par /(#).

Différentiation des fonctions de fonctions.

564. Considérons une fonction de fonctions de x (559) définie par les équations

On voit que y dépend de w, qui dépend de v, qui dépend de x. Finalement, y dépend donc de x et est une fonction de fonctions de x. En éliminant v et u, on pourrait obtenir cette fonction sous la forme

mais il est facile d'éviter cette substitution.

Supposons, en effet, qu'on donne à a? un accroissement Ax. Il en résultera pour v, u et y, les accroissements correspondants Av, Au et Ay. On aura alors, identiquement,

Ay Ay Au Av

Si l'on fait tendre maintenant Ax indéfiniment vers zéro et si le nombre des fonctions superposées dans l'expression de y est fini, la limite du premier membre de l'identité (i) sera égale au produit des limites des facteurs du second membre (342), et il viendra, par définition (534),

(2) Dxy = F'(u)f'(v)9'(x).

On peut donc énoncer cette règle fondamentale :

La dérivée d 'une fonction de fonctions est égale au produit des dérivées des fonctions successives, chacune de ces dérivées étant prise par rapport à la variable dont la fonction considérée dépend im m édiatem en t.