Si Ton veut passer à la différentielle de /, on a

En substituant dans la relation (2) du n° 564 et en multipliant par d.v, il vient

(1) dy=Y\u)f'(v)<f\œ)dx.

Telle est l'expression du principe de la dijférentiation des fonctions de fonctions. Comme on a (553, 549)

on peut encore écrire

ou, plus simplement, j

dy du

(a) dy=tud^dv'

Il faut remarquer avec soin que dy et dv sont les différentielles de y et de v prises par rapport à x9 tandis que -j- et -7-

sont des symboles représenlant les dérivées de y par rapport

dy à u et de u par rapport à v . Dans -j-<> u représente la variable

indépendante; dans -y- > u représente la fonction.

Expression de l'accroissement infiniment petit d'une fonction de plusieurs variables.

566. Nous avons déjà indiqué ce qu'on devait entendre par les dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables, quand cette fonction était entière (332). Nous allons généraliser cette notion fondamentale, en y ajoutant celle des différentielles partielles et en considérant une fonction composée quelconque.

Nous prendrons d'abord une fonction y dépendant de deux variables u et v9 et nous allons voir que l'accroissement inO-

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 4^9

niment petit d'une pareille fonction peut s'exprimer comme celui d'une fonction d'une seule variable, à l'aide d'une expression simple qui n'en diffère aussi que d'une portion infiniment petite de sa propre valeur.

Soit donc la fonction

Nous allons donner à u et à v des accroissements infiniment petits Ah, Av, qui seront ou non indépendants l'un de l'autre, suivant que les variables u et v seront ou non elles-mêmes indépendantes l'une de l'autre;/ prendra alors un accroissement correspondant A/, et l'on aura

j+ A/ — /O -+■ A//, v -h Ai>),

c'est-à-dire, par soustraction,

A/ = /( a -h An, p + Ac)-/(m,^).

En ajoutant et en retranchant dans le second membre la même quantité /(a -h Ah, v), on peut évidemment mettre cette valeur de Aj sous la forme suivante (471) :

A7=/(tt-hAa, v)—/(u, v)

-+-/(" H- ^u> *' -+■ À*') — /(u -h Ah, r).

Cela posé, désignons pour un instant par/i(n, v) la dérivée partielle de /(h, v) ou de y par rapport à u, c'està-dire la dérivée de la fonction prise en regardant u comme une variable indépendante et v comme une constante.

L'accroissement de la fonction, quand on donne à u seulement l'accroissement Ah, étant

nous pourrons alors écrire (545)

(2) /(h -f- Ah, v) —/{u, v) = [/'tt(u, «0 -+- a] Ah,

a étant une quantité qui tend vers zéro et qui s'annule en même temps que Ah.

De même, désignons par/'„(H -+- Ah, v) la dérivée partielle de la fonction /(u -+- Ah, e) />a/* rapport à v9 c'est-à-dire la dérivée de cette fonction prise en regardant v à son tour comme une variable indépendante et hh-Ah comme une constante.

46o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

L'accroissement de la fonction /(w 4- Ai/, *>), quand on donne à r seulement l'accroissement Ae, étant

/(#/ -h A//, v -h Ac) — /(// -+- An, *>)>

nous pourrons écrire encore (545)

f(u -+- Ai/, ph- A<<) -/(// -h Au, r) = [/U« "+- *", *') "+- P] Ar,

(3 étant une quantité qui tend vers zéro et qui s'annule en même temps que Ar.

Il est clair d'ailleurs que, si /'„("> v) est la dérivée partielle de f(iijv) ou de y par rapport à v9 elle ne peut différer def'v(u-\- Ai/, r) que d'une quantité infiniment petite y qui s'annulera avec Ai/. En posant (3 4- y = a', l'expression précédente deviendra donc

(3) /(« 4- Ai/, r 4- Ar) -/(// h- Ai/, t>) = [/,(*, r) + a'] Ar.

En ajoutant membre à membre les équations (i), (a), (3) et en simplifiant, il reste évidemment

Ar = [/'.( «> ") + «] A" + [/r(«, ") + «'] Ar.

a Ai/ est infiniment petit par rapport à la première partie de la valeur de A/, et il en est de même de a' Ai> par rapport à la seconde partie de cette valeur (520, 530). Par suite, en désignant par w une quantité infiniment petite par rapport à A/, on peut poser

w = «Atf + a' Ar et écrire

(4) Ar =f'u(u, c) Ai/ -h/v(i/, v) Ar 4- w.

C'est l'expression que nous voulions obtenir.

On représente ordinairement les deux dérivées partielles f'u(u, v) etf'v(u, r) par les notations

df(Ut<')f d/(u9v)^ ou dy^ dy du 9 dv 9 du ' dv

Seulement, il faut bien remarquer que, dans les expressions

■j-, -}-•> les deux dy sont différents, puisqu'ils représentent

respectivement les différentielles de y relatives à la variation d'une seule des variables u> v, ou les différentielles partielles de y par rapport à u et par rapport à v.

Pour éviler toute ambiguïté, on pourrait écrire les deux dérivées partielles en les enveloppant ainsi de parenthèses :

On les a supprimées, en comptant sur l'attention du lecteur bien prévenu.

Avec cette notation des dérivées partielles, on a

(5) Ar=&A«+^> + W.

D'après ce qui précède, l'infiniment petit d'ordre supérieur w se compose d'une première partie a Aw qui, divisée par A«, devient encore nulle pour Aw = o, et d'une seconde partie a! &v ou (P + y) Ae qui, après avoir été divisée par Ar, contient des termes s'annulant, les uns pour Am = o, les autres pour Ar =i o.

On aurait des résultats analogues, comme il est facile de s'en assurer, pour un nombre quelconque de variables, dépendantes ou non les unes des autres ou d'autres variables.

Ces résultats vont nous conduire immédiatement à la différentiation des fonctions composées.

Difîérentiation des fonctions composées.